第五章 微专题9　函数零点问题（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）选择性必修 第二册

微专题9　函数零点问题 典例剖析素养初现 探究1　函数零点个数问题 例1　讨论函数g(x)＝－－(x>0)的零点的个数． 【解答】令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x>0)，设h(x)＝－x3＋x(x>0)，则h′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1).当x∈(0，1)时，h′(x)>0，h(x)在(0，1)上为增函数；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)在(1，＋∞)上为减函数，所以当x＝1时，h(x)取得极大值h(1)＝1－＝，且x→0时h(x)→0，x→＋∞时h(x)→－∞，作出y＝h(x)的图象如图所示，由图可知当m>时，直线y＝m和函数y＝h(x)的图象无交点；当m＝时，直线y＝m和函数y＝h(x)的图象有且仅有一个交点；当0时，函数g(x)无零点；当m＝或m≤0时，函数g(x)有且仅有一个零点；当00，>0，所以f′(x)＝－cos x>0，所以f(x)单调递增，而f＝ln －1<0，f(π)＝ln(π＋1)>0，所以f(x)在上有且仅有一个零点x0.当x∈[π，＋∞)时，f(x)＝ln (x＋1)－sin x>ln (π＋1)－1>0，所以f(x)在[π，＋∞)上无零点．综上所述，f(x)在上有且仅有一个零点. 探究2　根据零点个数求参数 例2　已知函数g(x)＝＋ln x＋x－2－b(b∈R)在区间[e-1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围． 【解答】因为g(x)＝＋ln x＋x－2－b，所以g′(x)＝＝，所以g(x)在[e-1，1]上是减函数，在(1，e]上是增函数．因为g(x)在区间[e-1，e]上有两个零点，所以解得10且x≠1)的图象只有一个交点．g′(x)＝，令g′(x)＝0，得x＝e，当x∈(0，1)∪(1，e)时，g′(x)<0；当x∈(e，＋∞)时，g′(x)>0，所以g(x)在(0，1)和(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增．g(x)在x＝e时有极小值g(e)＝e，作出y＝g(x)的图象如图所示．由图可知，若要使直线y＝a与函数g(x)＝的图象有且只有一个交点，则a<0或a＝e.综上，a∈(－∞，0]∪{e}． (变式答) 随堂内化及时评价 1. 已知函数f(x)＝x2＋x－2－ln x，试确定该函数零点的个数． 【解答】函数f(x)＝x2＋x－2－ln x的定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝2x＋1－＝＝.令f′(x)>0 x>，令f′(x)<0 00，f＝－＋ln 2<0，f(e2)>0，所以函数f(x)在，内各有一零点，所以f(x)有两个零点． 2. 已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝2ex-1－ax2，其中a∈R. (1) 当a＝1时，若g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间； 【解答】当a＝1时，f′(x)＝2ex-1－2x.令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝2ex-1－2，令g′(x)＝0，得x＝1.所以当x<1时，g′(x)<0，g(x)在(－∞，1)上单调递减；当x>1时，g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增. (2) 若f(x)在R上恰有三个零点，求a的取值范 ... ...