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课件网) 10.1.1 两角和与差的余弦 探究点一 化简求值 探究点二 给值求值 探究点三 给值求角 【学习目标】 1.通过探究，了解两角差的余弦公式的推导过程. 2.熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进 行求值、计算. 知识点一 利用单位圆证明两角差的余弦公式 1.向量法 单位圆中，已知角 ， 的终边分别与单位 圆交于点， ， 则向量 _____. （用向量数量积的坐标表示） 2.两点间距离公式 以轴为始边作角 ，其终边与单位圆交于点 ，， ， ， . 知识点二 两角差的余弦公式 _____ 【诊断分析】 1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）对于任意 ，， 都 成立.( ) √ （2）对于任意 ，， 都不成立.( ) × [解析] 当 ， 时， ， ，此时 . （3） .( ) √ 2.观察下表中的数据,写出你的发现： . ; 知识点三 两角和的余弦公式 _____ 注:（1）公式中的角 ， 是任意角，特点是用单角的三角函数表 示复角的三角函数，， 是一个整体. （2）公式特点：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号 与左边角的连接符号相反，可用口诀“余余、正正号相反”记忆公式. 探究点一 化简求值 例1 利用两角和与差的余弦公式求值. （1） ； 解： . （2） . 解： . 例2 化简下列式子： （1） ； 解： . （2） ； 解： . （3） . 解：原式 . 变式 计算下列各式的值： （1） ； 解： . （2） ； 解：原式 . （3） . 解： . ［素养小结］ 解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路: （1）把非特殊角转化为特殊角的和与差的形式,正用两角和与差的余 弦公式直接求值; （2）在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角和与差的余弦公式 的结构形式,然后逆用公式求值. 探究点二 给值求值 例3（1） 已知， 是第四象限角，， 是第二象 限角，则 _ _____. [解析] 因为， 是第四象限角，所以 . 因为， 是第二象限角， 所以 ， 则 . （2）已知，，则 _ _____. [解析] ， ， ， . 变式 已知,,, ，求 和 的值. 解：因为, ，所以. 因为, ，所以， 所以 ， . ［素养小结］ 给值求值问题的解题策略： （1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要 注意观察已知角与所求表达式中角的关系，然后进行拆角与凑角. （2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要 灵活地进行拆角或凑角.常见角的变换： ； ； ； . 拓展 已知，，且 ， ，求 的值. 解：，， . 又，且 ， ①当时， ， ； ②当 时， ， . 综上所述，的值为或 . 探究点三 给值求角 例4 已知，，且，求 的值. 解：由， ，得 . 由，得. 又 ， . 由 ，得 ，又， . 变式 已知锐角 ， 满足，，求 的值. 解：因为 ， 为锐角且， ， 所以， ， 所以 ， 由，，得 ， 又，所以 为锐角，所以 . ［素养小结］ 求解给值求角问题的一般步骤： （1）求角的某一个三角函数值. （2）确定角的范围. （3）根据角的范围写出所求的角. 1.两角和与差的余弦公式的证明 除了教材的向量法和解析法外，另外提供几何法的证 明供参考. 先回顾一下用几何方法推导三角公式的历 史 在编制弦表的过程中发现了 定理:圆内接四边形 两条对角线长度之积与两组对边乘积的和相等.在上述定理中应用 圆心角 所对的弦长公式 ,就可以得到两角差的正弦公 式及两角和的余弦公式. 公元3世纪末，数学家用图示给出了下列命题:设 是以为直径的 半圆上的一点,是半圆在点 处的切线,和为的垂线， ， 为垂足，则 . 两角和与差的三角公式 的几何模型若设为圆心， ， ， ，作， ，垂足分别为，，设与相交于 点，则 ，即 , ，即 . 2.对两角差的余弦公式的理解 （1）公式中的 ， 都是任意角. （2）差角的余弦公式不能按分配律展开，即一般情况 ... ...
