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课件网) 10.1.2 两角和与差的正弦 探究点一 化简求值 探究点二 给值求值与给式求值 探究点三 辅助角公式 探究点四 证明问题 【学习目标】 1.了解两角和与差的正弦公式的推导过程. 2.掌握两角和与差的正弦公式、辅助角公式,并能灵活运用公式 进行简单的求值、计算与证明. 知识点一 两角和与差的正弦 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的 正弦 两角差的 正弦 记忆口诀：“正余余正，符号相同”. 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）两角和与差的正弦公式中的角 , 是任意的.( ) （2）存在 ,,使得 成立.( ) √ √ [解析] 当 , 时, . （3）对于任意 ,, 都不成立.( ) × [解析] 当 , 时, 成立. （4） .( ) √ [解析] . 知识点二 辅助角公式 ， 令， ，则有 ，其中， 为辅助角. 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） .( ) √ [解析] . （2） .( ) × [解析] 方法一： . 方法二： . 探究点一 化简求值 例1（1） __. [解析] . （2） _ __. [解析] 原式 . 变式（1） 的值为( ) A. B. C. D. [解析] .故选A. √ （2） ( ) A. B. C. D. [解析] ， , .故选B. √ ［素养小结］ 解决给角求值问题的策略: （1）对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部 的基本原则,若整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部 的变形; （2）在逆用两角和与差的正弦和余弦公式时,首先要看结构是否符合 公式特点,其次看角是否满足要求. 探究点二 给值求值与给式求值 例2 已知，，且 ， . （1）求 的值； 解：因为 ，，所以 ， 又，所以 ， 所以， ， 所以 . （2）求角 的值. 解：方法一： ，又因为，所以 . 方法二：，又因为，所以 . 变式1 已知,,, 是第三象限角，求 的值. 解：因为,,, 是第三象限角，所以 , . 所以 . 变式2 [2024·江苏连云港高一期中] 已知锐角 ， 满足 ， . （1）求 的值； 解：因为，，所以 ， 又，所以 ， 所以 ， 又， 为锐角，所以 . 因为 ，所以 . （2）求 的值. 解：因为 ，所以 ， 又因为，所以 . ［素养小结］ 解决给值求值与给式求值问题时,一定要注意已知角与所求角之间的 关系,恰当地运用拆角、凑角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代 换化异角为同角,具体做法是:（1）当条件中有两角时,一般把所求角 表示为已知两角的和或差;（2）当已知角有一个时,可利用诱导公式 把所求角转化为已知角. 探究点三 辅助角公式 例3 将下列各式写成 的形式： （1） ； 解： . （2） . 解：原式 . 变式 __ ___. [解析] 原式 . 方法一：原式 . [解析] 原式 . 方法二：原式 . ［素养小结］ 一般地，对于 形式的代数式，可以提取 ， 化为 的形式，公式 (或 )称为辅助角公式.利用辅助角 公式可对代数式进行化简或求值. 例4 已知函数，，求函数 的值域. 解： ， 因为，所以 , 所以.所以函数的值域为 . 变式 已知 . （1）求 的值域； 解：，所以的值域为 . （2）若，，求 的值. 解：由（1）得， 因为 ，所以,，， 所以, 所以 . ［素养小结］ （1）用辅助角公式化成一角一函数，即 的形式. （2）根据三角函数的单调性求其值域. 探究点四 证明问题 例5 已知 ，，且 . 求证： . 证明： ， ， ， . ，，，易知 ， ，式两边同除以 得， . ［素养小结］ 利用公式证明恒等式时： （1）要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地 找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式. （2）注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能 直接运用公式. 对两角和与差的正弦、余弦公式的理解 （1）两角和与差的正弦公式与两角和与差的余弦公式一样，公式对 分配律不成立，即一般情况下 ... ...
