第三章 圆锥曲线的方程学案 知识清单+例题精析 3.1 椭圆 3.1.1 椭圆及其标准方程 1.圆锥曲线的定义：用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线. 2.椭圆的定义：平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 注意点：（1）椭圆上的点到两焦点距离之和为定值； （2）定值必须大于两定点的距离； （3）当距离的和等于F1F2时，点的轨迹是线段； （4）当距离的和小于F1F2时，点的轨迹不存在． 3.椭圆的标准方程 焦点位置 在x轴上 在y轴上 标准方程 图象 焦点坐标 , , a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 注意点：（1）焦点位置由a2，b2的大小确定，焦点在大的参数对应的坐标轴上； （2）表示椭圆的充要条件为：． 4.椭圆方程的设法 求椭圆方程时，如果明确椭圆的焦点在x轴上，那么设所求的椭圆方程为：； 如果明确椭圆的焦点在y轴上，那么设所求的椭圆方程为：； 如果中心在原点，但焦点的位置不能明确是在x轴上，还是在y轴上，那么方程可以设为：mx2＋ny2＝1（m>0，n>0，m≠n）． 3.1.2 椭圆的简单几何性质 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图象 标准方程 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心（也叫椭圆的中心）为原点 顶点 ,, , ,, , 离心率 轴长 长轴，短轴 焦点 , , 焦距 2.离心率 （1）定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率． （2）性质：离心率e的范围是（0，1）．当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆． 注意点：（1）椭圆的焦点一定在它的长轴上． （2）椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点． （3）椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c． 3.直线与椭圆的位置关系 （1）直线与椭圆的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． 直线与椭圆的位置关系 相交 相切 相离 直线与椭圆公共点个数 两个 一个 无 方程解的个数 两解 一解 无解 的取值 >0 =0 <0 注意点：设直线方程时，容易忽略斜率不存在的情况． （2）解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： ①得出直线方程，设交点为，； ②联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程； ③写出根与系数的关系； ④将所求问题或题中关系转化为关于，的形式； ⑤代入求解． 备选例题A组 基础巩固 【例题1】设F1,F2分别为椭圆C:+=1的两个焦点，过F1 且不与坐标轴重合的直线l交椭圆C于A,B两点，则△ABF2 的周长为( ) A.4 B.8 C.12 D.16 【答案】A 【解析】如图，不妨设F为左焦点，F1为右焦点，连接PF1.∵N为PF的中点，且|ON|=2 ， ∴|PF1|=4.由椭圆方程可知，2a=6，根据椭圆定义有|PF|+|PF1|=2a=6，∴|PF|=2 .故选A. 【例题2】已知椭圆的方程为，则该椭圆的（ ） A．长轴长为2 B．短轴长为 C．焦距为1 D．离心率为 【详解】由椭圆的方程可知：焦点在轴上， 即，则. 所以长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为. 故选：D 【例题3】过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（ ） A． B． C． D． 【详解】由化简可得，焦点为在轴上， 同时又过点，设，有，解得， 故选：C 【例题4】已知椭圆，则不随参数的变化而变化的是（ ） A．顶点坐标 B．离心率 C．焦距 D．长轴长 【详解】椭圆中，长半轴长，短半轴长，半焦距，显然顶点坐标随的变化而变化，离心率随的变化而变化，长轴长随的变化而变化，ABD不是；焦距不随的变化而变化，C是. 故选：C 【 ... ...
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