沪科版数学八年级上册全等三角形之倍长中线、角平分线模型 一、倍长中线（直接倍长） 1．（2021八上·平塘期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，求AC的长. 解：延长CD到H，使DH＝CD，连接AH， ∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，（ ▲ ） ∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝30°， ∵D为AB的中点，∴AD＝BD，（ ▲ ） 在△ADH与△BDC中， ∴△ADH≌△BDC（SAS）， ∴AH＝ BC＝4，（ ▲ ） ∠H＝∠BCD＝90°，（ ▲ ） ∵∠ACH＝30°， ∴AC＝8.（ ▲ ） 【答案】解：延长CD到H，使DH＝CD，连接AH， ∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，（垂直的定义） ∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝30°， ∵D为AB的中点，∴AD＝BD，（中点的定义） 在△ADH与△BDC中， ∴△ADH≌△BDC（SAS）， ∴AH＝ BC＝4，（全等三角形的对应边相等） ∠H＝∠BCD＝90°，（全等三角形的对应角相等） ∵∠ACH＝30°， ∴AC＝8.（直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半） 【知识点】含30°角的直角三角形；线段的中点；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型 【解析】【分析】延长CD到H，使DH＝CD，连接AH，根据垂直的概念可得∠BCD＝90°，由角的和差关系可得∠ACD的度数，根据中点的概念可得AD＝BD，证明△ADH≌△BDC，得到AH=BC=4，∠H＝∠BCD＝90°，然后根据含30°角的直角三角形的性质进行计算. 2．如图，已知△ABC 中，AB=AC，D 为AB 上一点，E为AC 延长线上一点，BD=CE，DE 交BC于点F.求证：DF=EF. 【答案】证明：过点D作DM//AC交BC于M，如图所示， ∴∠DMB=∠ACB，∠FDM=∠E， ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∴∠B=∠DMB， ∴BD=MD， ∵BD=CE ∴MD=CE 在△DMF和△ECF中 ∴△DMF≌△ECF（AAS） ∴DF=EF 【知识点】三角形全等的判定-AAS 【解析】【分析】利用平行可得∠DMB=∠ACB，∠FDM=∠E，利用等腰三角形的性质可得∠B=∠ACB，从而证明∠B=∠DMB，证明△DMF≌△ECF，即可得出结论. 3．（2025八上·长兴月考） 如图 （1）问题提出：在△ABC中，AB=5，AC=9，求BC边上的中线AD的取值范围. 思维点播：延长中线至等长，构造全等三角形，把AB、AC、2AD集中在△ACE中，利用 三边关系，可得AD的取值范围. 问题解决1：在图1中找出AB与 CE的数量关系并证明.： 问题解决2：AD的取值范围是 ，AB和CE的位置关系是 . （2）问题拓展：如图2，AD是△ABC的中线，AB=AM，AC=AN，∠BAM=∠NAC=90°，探究线段AD与MN的数量关系并加以证明. 【答案】（1）解：问题解决1： 证明：延长AD至点E，使，连接CE. 是BC边上的中线， . 在和中， . . 问题解决2：，平行 （2）解：. 理由如下：. 证明：如图，延长AD至点E，使，连接CE. ∵AD是边上的中线， ∴. 在和中： . . ， . . . 在和中： . ∴MN=AE ∵AE=AD+DE=2AD ∴MN=2AD 【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系 【解析】【解答】解：（1）问题解决2：由（问题解决1）可得AD=DE，EC=AB，， ∴∠B=∠C， ∴ AB∥CE， ∵ AB=5， ∴EC=5， ∵ AC=9 ，AC-EC
