2.2 从函数观点看一元二次方程 教学设计（表格式）——2025-2026学年高中必修 第一册《数学》湘教版(新)

《从函数观点看一元二次方程》教案 课题 2.2从函数观点看一元二次方程 单元 第二单元 学科 数学 年级 高一 教学目标与核心素养 1.数学抽象：了解方程与函数之间的关系 2.数学建模：掌握不等式的相关知识，为不等式的学习打好基础的同时，也能学习利用不等式解决实际问题 3.数学运算:运用根的大小来解决问题 重点 难点 重点：方程与函数之间的关系；根的判别式。 难点：方程与函数之间的关系；根的判别式。 教学过程 教学环节 教师活动 新课导入 情境导入： 二次函数与一元二次方程是我们学习过的两个重要内容，他们之间有着怎样的关系呢？ 先观察以下具体的一元二次方程及对应的二次函数，再进行思考： （1）一元二次方程 ； （2）一元二次方程与二次函数； （3）一元二次方程与二次函数. 新知探究 新知探究（一）：从函数观点看一元二次方程 一元二次方程 函数图象为： 容易得知，一元二次方程有两个实数根：；一元二次函数 的图象与交点，分别为： （1，0）、（3，0）。 一元二次方程与二次函数 函数图象为： 容易得知，一元二次方程有两个相等的实数根：2； 一元二次函数 的图象与（2，0） 一元二次方程 函数图象为： 容易得知，一元二次方程没有实数根； 一元二次函数 的图象与 一般地，我们把使得成立的实数叫作二次函数 零点。 这样，一次二元方程的实数根就是二次函数 的零点，也就是函数 的图象与轴交点的横坐标。 练一练： 利用函数图象判断一元二次方程有没有实数根，有几个根。 解：由 ，可得： 函数图象为： 所以，该一元二次方程没有实数根。 典型例题 典型例题 1、二次函数的图象如图所示，根据图象回答问题： （1）写出方程的两个根； （2）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围。 ， 解：（1）观察图像可知，二次函数的图像与轴交于（1，0）、（3，0）， 故方程的两个根：，. （2）若方程有两个不相等的实数根， 则二次函数的图像与直线有两个不同的交点。 观察图像可知，二次函数图像顶点的纵坐标为2，所以只有当时才满足条件。 2、一名男生推铅球，铅球行进高度与水平距离之间的关系式是.试求铅球被推出的距离。 解：当铅球的行进高度为0时，水平距离即为铅球被推出的距离 因此，把代入关系式中， 解得， 即铅球被推出的水平距离为10m. 拓展提高 已知二次函数的图象与轴交于点A（0，-3），与轴的两个交点的横坐标的平方和为15，求该二次函数的表达式。 答案或 解：由二次函数的图象与轴交于点A（0，-3）知， 设二次函数的图象与轴交点的横坐标为， 则是一元二次方程的两个根， 由根与系数的关系知： ∴ 解得 ∴所求二次函数的表达式为或 学生和教师共同探究完成2个练习题。 通过思考，培养学生探索新知的精神和能力. 课堂小结 方程与函数之间的关系； 根的判别式。 ... ...