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课件网) 幻灯片 1：封面 标题：15.3.2 含 30 度角的三角形 副标题：探索特殊角度三角形的边角关系 背景图：左侧展示含 30° 角的直角三角尺（标注 30°、60°、90°），右侧呈现由等边三角形拆分而成的两个含 30° 角的直角三角形（标注 30° 角对边与斜边的关系），直观关联 “等边三角形” 与 “含 30° 角的直角三角形”。 幻灯片 2：学习目标 理解含 30° 角的直角三角形的特殊性质（30° 角所对的直角边等于斜边的一半），掌握性质的推导过程。 能运用含 30° 角的直角三角形的性质解决线段长度计算、几何证明及实际应用问题。 了解含 30° 角的非直角三角形的特点，能结合三角形内角和与等腰三角形性质分析其边角关系。 经历 “推导 — 验证 — 应用” 的过程，培养逻辑推理与几何应用能力，体会特殊与一般的数学思想。 幻灯片 3：导入 ——— 从等边三角形拆分引出特殊三角形 复习回顾：回顾等边三角形的性质（三边相等、三角均为 60°），展示一个等边△ABC，提问：若过顶点 A 作 BC 边上的高 AD，将等边三角形分成两个直角三角形，这两个直角三角形有什么特殊角度？（引导学生发现：∠BAD=30°，∠B=60°，∠ADB=90°，即含 30° 角的直角三角形）。 提出问题：在拆分后的 Rt△ABD 中，∠BAD=30°，它所对的直角边 BD 与斜边 AB 有什么数量关系？（结合等边三角形 “AB=BC=2BD”，引导学生猜想 “BD=1/2AB”），引出本节课核心 ——— 含 30° 角的直角三角形的性质。 幻灯片 4：含 30° 角的直角三角形的性质推导 推导依据：利用等边三角形的性质与直角三角形的定义进行推导。 推导过程： 已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°。 推导步骤： 延长 BC 至 D，使 CD=BC，连接 AD（构造全等三角形）。 在△ABC 和△ADC 中： \(\begin{cases} BC=CD（构造）, \\ ∠ACB=∠ACD=90°（已知）, \\ AC=AC（公共边）, \end{cases}\) ∴△ABC≌△ADC（SAS），故 AB=AD，∠B=∠D=60°。 由∠B=∠D=60°，AB=AD，可知△ABD 是等边三角形（有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形），故 AB=BD。 又∵BD=BC+CD=2BC（CD=BC），∴AB=2BC，即 BC=1/2AB。 性质总结：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 符号语言：在 Rt△ABC 中，∵∠C=90°，∠A=30°，∴BC=1/2AB（或 AB=2BC）。 实验验证：用含 30° 角的直角三角尺测量（如三角尺斜边 AB=10cm，30° 角对边 BC=5cm），验证 “BC=1/2AB”，确保性质的准确性。 幻灯片 5：含 30° 角的直角三角形的性质应用 1——— 线段长度计算 例题 1：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，斜边 AB=8cm，求 BC 和 AC 的长度。 分析：由性质得 BC=1/2AB，再用勾股定理求 AC。 解答： ∵∠C=90°，∠A=30°，AB=8cm， ∴BC=1/2AB=1/2×8=4cm（含 30° 角的直角三角形性质）。 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得： AC=√(AB -BC )=√(8 -4 )=√48=4√3 cm。 例题 2：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AC=5cm，求斜边 AB 和直角边 BC 的长度。 分析：∠B=30°，其对边是 AC，故 AC=1/2AB，先求 AB，再用勾股定理求 BC。 解答： ∵∠C=90°，∠B=30°，AC 是∠B 的对边， ∴AC=1/2AB（性质），故 AB=2AC=2×5=10cm。 由勾股定理得：BC=√(AB -AC )=√(10 -5 )=√75=5√3 cm。 幻灯片 6：含 30° 角的直角三角形的性质应用 2——— 几何证明 例题 3：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边 AB 上的中线，∠A=30°，求证：CD=1/2AB=BC。 分析：先由性质得 BC=1/2AB，再利用 “直角三角形斜边中线等于斜边一半” 得 CD=1/2AB，从而证得 CD=BC。 证明： ∵∠ACB=90°，∠A=30° ... ...
