(课件网) 1. 学会用尺规作图作一个角的平分线，并理解其中的原理. 2. 能利用三角形全等证明角的平分线的性质，并利用角的平分线的性质解决简单的数学问题. 2025年4月19日，第42届潍坊国际风筝会开幕，天空中飞翔着各式各样的风筝，有中欧班列风筝，有《西游记》里的孙悟空风筝，甚至还有火车风筝. 小红想自制一个如图所示的四边形板子风筝来参加风筝节，四边形的长对角线平分四边形的这两个对角，你能帮她做出一个这样的风筝吗？ 任务一 确定长对角线的位置 如图，抽象出几何图形，得到了如图所示的∠AOB，OC是∠AOB的平分线. 接下来我们通过平面图形来探索一下角平分线上的点的特点？总结出角平分线的画法. 长对角线是∠AOB的平分线，可是如何准确地确定角平分线的位置呢？角平分线上的点有什么特点呢？ A B O C 问题1 点P是OC上任意一点，M、N分别是OA、OB上的点，当OM与ON满足什么关系时，PM=PN？ 分析：在△OPM与△OPN中， OP=OP，∠POM=∠PON， 如果OM=ON， 那么△OPM≌△OPN(SAS)，就有PM=PN. 当OM=ON时，PM=PN. A B O P M N 问题2 如果OM=ON，点P在∠AOB的内部，PM=PN， 求证：点P在∠AOB的平分线上. A B O P M N 证明：连接OP， 在△OPM与△OPN中， OP=OP，OM=ON，PM=PN，△OPM≌△OPN(SSS)， 所以∠POM=∠PON，即点P在∠AOB的平分线上. 思考1 根据上述探究，你能想到如何作一个角的平分线吗？ 分析：根据上述结论，可以先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点，再在角的内部作出与这两点距离相等的点，以角的顶点为端点，作过这个点的射线，就能得到角的平分线了. A B O 作法： (1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N； A B O C M N (2)分别以点M，N 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C； (3)作射线OC， 射线OC即为∠AOB的平分线. 以小于 的长为半径画弧，则两弧没有交点，无法确定点C的位置. 想一想为什么？ 任务二 确定点M、N的位置 根据前面的方法，率先确定了风筝长对角线的位置. 在查阅资料后，发现当PM、PN分别与角的两边垂直时，制作出来的风筝就会飞的越高且越稳定. A B O C P M N 接下来我们继续通过对平面图形的探索，解决大家的疑惑. 我们需要提前准备PM、PN对应位置的两根木条，应该准备多长的木条呢？这两根木条之间的长度会有什么关系？ A B O C P M N 问题3 同学们可以猜想一下，当PM、PN分别与角的两边垂直时，PM与PN有什么关系呢？ 分析：我们可以画几组垂直于角的两边的线段来观察一下. A B O C M1 M2 M3 N1 N2 N3 P1 P2 P3 如图，OC是∠AOB的平分线，点P1，P2，P3，…在OC上，过点P1，P2，P3，…分别画OA与OB的垂线，垂足分别为M1与N1、M2与N2、M3与N3…分别比较P1M1与P1N1、P2M2与P2N2、P3M3与P3N3……，你有什么发现？ 可以发现， P1M1=P1N1， P2M2=P2N2， P3M3=P3N3，… A B O C M1 M2 M3 N1 N2 N3 P1 P2 P3 由此我们猜想角的平分线有以下性质: 角的平分线上的点到角两边的距离相等. 如何证实这个猜想呢？ A B O C M1 M2 M3 N1 N2 N3 P1 P2 P3 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 求证：PD=PE. 分析：如果能证明△OPD≌△OPE，就可以得到PD=PE. 由题意可知，△OPD和△OPE具备“角角边”的条件. A B O C D D P A B O C E D P 证明: ∵OC是∠AOB的平分线， ∴∠AOC=∠BOC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO=90°. 在△OPD和△OPE中， ∠AOC=∠BOC， ∠PDO=∠PEO， OP=OP， ∴△OPD≌△OPE(AAS). ∴PD=PE. 归纳总结 一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按 照类似的步骤进行，即 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用 ... ...
