7.2.2 同角三角函数关系 课件（19 页） 2025-2026学年苏教版（2019）高中数学必修第一册

7.2.2 同角三角函数关系 1.理解同角三角函数的基本关系式. 2.能应用同角三角函数基本关系进行求值. 试一试：计算下列式子的值，说说你发现的规律. (1)sin20°+cos20°; (2)sin245°+cos245°; (3)sin260°+cos260°. 结果均为1 如何证明呢？ ????????????2????+????????????2????=1. ? 如图，设点????(????,????)是角????的终边与单位圆的交点.过????作????轴的垂线，交????轴于????，则?????????????是直角三角形，而且????????=1. ? 显然，当????的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立. ? ????????????2????+????????????2????=1. ? 由勾股定理有：????????2+????????2=1. 因此，????2+????2=1，即 ? 根据三角函数的定义，当????≠????????+????2(????∈????)时，有： ? ??????????????????????????????????=?????????????????. ? 即同一个角????的正弦、余弦的平方和等于1，商等于????的正切. ? 要点归纳 ????????????2????+????????????2????=1 ????????????????=????????????????????????????????（????≠????2+????????,????∈????) ? 平方关系： 商数关系： 判一判：下列结论是否正确？ （ ） （ ） （ ） √ √ √ 注意：“同角”的两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，与角的表达式无关. 例1. 已知????????????????=?35 ，求????????????????、 ????????????????的值. ? 解：∵????????????????=?35<0， ????????????????≠-1 ∴????是第三或第四象限角 由????????????2????+????????????2????=1，得????????????2????=1?352=1625 当????是第三象限角时，????????????????=?45，????????????????=34． 当????是第四象限角时，????????????????=45，????????????????=?34. ? 练1：求已知α是第二象限角，tanα=?2，则cosα等于（?? ??） A．?55 B．?15 C．?255 D．?25 ? 解：∵tanα=?2=sinαcosα，∴2cosα=?sinα， ∵ sin2α+cos2α=1，α是第二象限角， ∴cosα=?55． ? ???? ? 练一练 解 ： 由????????????2????+????????????2????=1 得 ? ????????????2????=1?????????????2???? ? =1?(?12)2 ? =34 ? 因为 ???? 是第二象限的角，所以 sin????>0. ? 从而 ????????????????=????????????????????????????????=32?12=?3 ? ????????????????=34=32 ? 于是 练2 已知????????????????=?12，且????是第二象限的角，求????????????????和????????????????. ? 练一练 要点归纳 知一求二： 例2：已知tan????=2，求sin????+cos????sin?????cos????的值 ? 分析： 思路1，可以由tan ???? =3求出sin ???? 、cos ???? 的值或关系，代入求解即可； 思路2，所求值代数式的分子与分母均是关于sin????、cos????齐次式，故分子与分母同除于cos????，可将其化为关于tan????的代数式. ? 解法一：∵tan????=2，∴ sin????=2cos???? ∴sin????+cos????sin?????cos????=2cos????+cos????2cos????=cos????=3． ? 解法二：∵tan????=2， ∴sin????+cos????sin?????cos????=sin????cos????+cos????cos????sin????cos?????cos????cos????=tan????+1tan?????1=2+12?1=3． ? 例3.求证：????????????????1????????????????? = 1+???????????????????????????????? ? 证法1:由cos????≠0，知sin????≠?1， 所以1+sin????≠0，于是 左边=cos?????(1+sin?????)(1?sin?????)(1+sin?????)=cos????(1+sin????)1?sin2???? =cos????(1+sin????)cos2????=1+sin????cos????=右边． 所以，原式成立． ? 证法2:因为1?sin????1+sin???? =1?sin2???? =cos2????=cos????cos????， 且1?sin????≠0，cos????≠0， 所以cos????1?sin????=1+sin????cos????． ? 练3：化简： 1cos????tan????;???22????????????2?? ... ...