2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 专题二、实数问题（适中版） 一、单选题 1．对任意的整数，，定义，则使得的整数组的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若正整数，，满足且，则称为好数组．那么，好数组的个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．对于自然数，将其各位数字之和记为，如，，则（ ） A．28062 B．28065 C．28067 D．28068 4．已知，则A与1的大小关系是（ ）． A． B． C． D．无法确定 5．已知有理数a，b，c，d满足，那么（ ） A． B． C． D． 6．若关于的方程的解是整数解，是整数，则所有的值加起来为（ ） A． B． C． D．18 7．若n为任意整数，如果的值总能被4整除，则整数k不能取（ ） A． B．1 C．2 D．5 8．已知为非负整数，关于的方程至少有一个整数根，则的可能取值的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 9．五个互不相同的正奇数，，，，满足，则的个位数字为 ． 10．计算机的发明与应用被称作20世纪第三次科技革命的重要标志之一，计算机能识别和处理由“0”“1”符号串组成的代码，其运算模式是二进制．计数的进位方法是“逢二进一”，例如：二进制数100110记为，通过式子 可以转换为十进制数38．将十进制数89转换成二进制数是 ． 11．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且，并满足，那么称这个四位数为“长寿数”，例如：四位数4128，，是“长寿数”；又如四位数7143，，不是“长寿数”，则最小的“长寿数”是 ；已知“长寿数”（其中），将的千位数字与百位数字的和记为，个位数字与十位数字的差记为，若能被14整除，则满足条件的的最小值为 ． 12．立方体的每一个面都写着一个自然数，并且相对两个面所写两个数之和相等，10，12，15是相邻三面上的数，若10的对面写的是质数a，12的对面写的是质数b，15的对面写的是质数c，则的值等于 ． 13．以表示不大于的最大整数，例如，则 ． 14．已知是四个不同的有理数，且，，则 ． 三、解答题 15．已知整数，，，．满足，． (1)求证：为正数； (2)若为偶数，判断是否可以为奇数，说明你理由． 16．已知实数满足． (1)求证：为非负数； (2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由． 17．一个四位正整数A满足百位上的数字比千位上的数字小5，且个位上的数字比十位上的数字小5，则称A为“队伍数”，将“队伍数”A的千位和十位数字组成的两位数与百位和个位数字组成的两位数的和记为，将“队伍数”A的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的差记为．例如：四位正整数7261，，∴7261是“队伍数”，此时，． (1)判断：9483，6132是否是“队伍数”，并说明理由，如果是，求； (2)若A是“队伍数”，且满足能被7整除，求出所有符合条件的A． 18．已知正整数m，n满足，求n的最大值． 19．若x．y为正数但都不为整数且（m为正整数），则．求的值． 20．求所有的正整数，，使得是非负整数． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 专题二、实数问题（适中版） 一、单选题 1．对任意的整数，，定义，则使得的整数组的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】， 由对称性，同样可得 ，． 所以，由已知可得，即． 所以，，，为整数时，只能有以下几种情况： ，或，或，或， 所以，或或或，故共有4个符合要求的整数组． 2．若正整数，，满足且，则称为好数组．那么，好数组的个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】若为好数组，则，所以，显然，只能为1或2． 若，由可得或3，时可得，时可得（不是整数）； 若，则，于是可得，可求得或． 综合可知：共有3个好数组，分别为，和． 3．对于自然数，将其各位数字之和记为，如，，则 ... ...
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