2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 专题三、恒等变换问题（适中版） 一、单选题 1．方程组（ ）． A．没有解 B．有1组解 C．有3组解 D．以上答案都不对 2．已知实数，，满足，，则（ ） A．2 B．1 C．0 D．-1 3．设，则（ ） A． B． C． D． 4．已知，则的值为（ ）． A．3 B．5 C． D． 5．设实数，，满足：，，则（ ） A．12 B．9 C．6 D．3 6．已知非零实数a，b，c满足，则对正整数k使得 ①， ②， ③， ④中，总成立的有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 7．设a、b为x2＋x﹣2021＝0的两个实数根，则a3＋a2＋3a＋2024b＝（ ） A．2024 B．﹣2024 C．2021 D．﹣2021 8．若，且，则的值为（ ）． A． B． C． D． 二、填空题 9．已知，则的值为 ． 10．已知为实数，等式对于任意实数恒成立，则的值为 ． 11．设是的小数部分，是的小数部分，则 ． 12．已知，则 ． 13．若实数满足，则 ． 14．已知整数a，b，c满足不等式，则a，b，c分别等于 ． 三、解答题 15．阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中均为整数），则有． ．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当均为正整数时，若，用含的式子分别表示，得_____，_____； (2)利用所探索的结论，找一组正整数，填空：_____； (3)若，且均为正整数，求的值． 16．已知是一元二次方程的一个根，若正整数，，使得等式成立，求的值． 17．已知实数，，，满足，求的值． 18．若，则，等号成立当． 19．若，证明： ．等号成立当且仅当． 20．（1）求证：； （2）已知，求证：2173可以化为两个数的平方和． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 专题三、恒等变换问题（适中版） 一、单选题 1．方程组（ ）． A．没有解 B．有1组解 C．有3组解 D．以上答案都不对 【答案】B 【详解】解 原方程可化为， 即． 设，则 得，即．④ 得，故， 代入④得， 代入②得， 从而为原方程组唯一一组解．故选B． 2．已知实数，，满足，，则（ ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】B 【详解】已知等式可变形为，，解得，，所以． 3．设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据，得出，再根据等式两边平方，得出，再把进行变形，然后把代入计算即可． 【详解】解：由， 可得：， ∴， ∴， ∴ ． 故选：A 【点睛】本题考查了求代数式的值、二次根式的化简、整式的恒等变形，将所求式子进行适当的变形是解本题的关键． 4．已知，则的值为（ ）． A．3 B．5 C． D． 【答案】A 【详解】依题目条件可知，即，即，故原式． 故选：A． 5．设实数，，满足：，，则（ ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【解析】略 6．已知非零实数a，b，c满足，则对正整数k使得 ①， ②， ③， ④中，总成立的有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据已知式子得出或或，设，可依次判断①②；令，，可判断③④． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴或或， 设， 则， 故①②成立； 令，， 则，，故③不成立； 此时，故④不成立； ∴总成立的有两个， 故选B． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，难度较大，涉及数学运算中一些高难度的运算手段，解题时要学会假设性的提出条件，通过一些特殊值判断式子的正确性． 7．设a、b为x2＋x﹣2021＝0的两个实数根，则a3＋a2＋3a＋2024b＝（ ） A．2024 B．﹣2024 C．2021 D．﹣2021 【答案】B 【分析】 先根据一元二次方程根的定义得到a2= a+2021，再用a表示a3，得到a3=2022a 2021，所以原式变形为2024(a+b)，再根据一元二次方程根与 ... ...
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