华师大八上13.1.3 反证法 学案

中小学教育资源及组卷应用平台 分课时学案 课题 13.1.3 反证法 单元 13 学科 数学 年级 八年级 学习 目标 1.通过对“道旁苦李”“三角形无两个直角”等案例的分析，抽象出反证法“反设—归谬—结论”的基本步骤，理解反证法的逻辑本质是“通过否定结论导出矛盾，进而肯定结论”。 2.经历反证法证明命题的完整过程，能准确进行“反设”（否定命题结论），能从反设和已知条件出发，严谨推导得出矛盾（与已知条件、公理、定理或自身矛盾），培养演绎推理能力和逆向思维能力。 3.能将反证法的逻辑思路转化为具体的证明步骤，建立“否定结论—推导矛盾—肯定结论”的证明模型，能运用该模型解决简单的几何和代数证明问题。 重点 1. 反证法的基本步骤：准确反设、严谨归谬、合理结论。 2. 运用反证法证明简单的几何命题和代数命题。 难点 1.准确进行“反设”：全面、正确地否定命题的结论，避免出现反设不完整或错误的情况 2.从反设和已知条件出发，推导得出与已知条件、公理、定理或自身相矛盾的结论，确保推导过程逻辑严密、无漏洞。 教学过程 导入新课 相传，王戎七岁的时候，曾经和小伙伴一起游玩，看到了路边的李树上结满了李子，压弯了枝条。小伙伴们都争相上前采摘，只有王戎一个人不为所动。有人问他，他回答说：“道路边的李树多果实却没有人采摘，果实一定是苦的。”摘下来品尝，果然如王戎所说，这就是”道旁苦李”的故事。 如果当时你在场，你会怎么办？王戎是怎么判断李子是苦的？你认为他的判断是对的吗？ 我们已经知道，当一个三角形的三边长a、b、c(a≤b≤c)满足关系 a2+b2=c2时，这个三角形一定是直角三角形. 如果此时a2+b2≠c2，那么这个三角形是否一定不是直角三角形呢？ 新知讲解 【探究】：反证法 【做一做】作出以如下各组数为边长的三角形，算算较短的两边长的平方和是否等于最长边的平方，再观察它们的图形，你发现了什么？ （1）a=1.0，b=2.4，c=2.6； （2）a=2，b=3，c=4； （3）a=2，b=2.5，c=3. 由此，可以猜想： _____ 验证猜想： 思考：能不能直接通过推理得到你的结论呢？ 不妨，我们可以换一种思维方式，用如下方法证明这个结论： (1)假设它是直角三角形； (2)根据勾股定理，一定有a2+b2=c2，与已知条件a2+b2≠c2矛盾； (3)因此假设不成立，即它不是直角三角形. 总结归纳 反证法： 用反证法证明的步骤： 【思考】现在再回到勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 即“在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C=90°，那么a2+b2=c2”是一个真命题. 对于一般的非直角三角形，情况又会如何呢？ 即“在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C≠90°，那么a2+b2≠c2”是真命题吗？ 【例5】证明：两条直线相交只有一个交点. 已知：两条相交直线l1与l2. 求证：l1与l2只有一个交点. 【例6】证明:在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°. 已知：△ABC. 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 巩固训练 【知识技能类作业】必做题： 1.已知：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C. 若用反证法来证明这个结论，可以假设( ). A. ∠A=CB B. AB=BC C. ∠B=∠C D. ∠A=∠C 2.用反证法证明结论为“ab B. a≥b C. a=b D. a≤b 3.用反证法证明“同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设( ) . A. a、c不垂直 B. a、b都不与c垂直 C. a⊥b D. a与b相交 4.求证：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角不互补，那么这两条直线不平行.(用反证法) 已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2≠180°. 求证：l1与l2不平行. 【知识技能类作业】选做题： 5.小明在用反证法解答“已知△ABC中， AB=AC，求证：∠B<90°”这道题时，写出了下面的四个推理步骤: ①又因为 ... ...