专题02 实际问题与一元二次方程 考点01（★★★）数字问题 4 考点02（★★★）平均变化率问题 6 考点03（★★★）利润问题 7 考点04（★★★）单循环、双循环问题 10 考点05（★★★）图形面积问题 11 1．列一元二次方程解应用题的一般步骤 步骤 内容 注意事项 审 审清题意，明确已知和未知，找到它们之间的等量关系． 等量关系往往体现在关键词句中． 设 设未知数，方法有直接设元法、间接设元法和辅助设元法（引入辅助未知数，并在解题过程中消去）． 有单位的要带单位． 列 用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程． 方程两边单位要统一． 解 根据方程的特点，选择适当解法求出未知数的值． 一般不必写出解方程的过程． 验 检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义． 一般两个根中只有一个符合实际意义． 答 写出实际问题的答案． 遵循“问什么答什么”的原则． 2．在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 3．一元二次方程实际问题的常见题型 （1）传播问题 传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=两轮传染后的总数 （2）平均变化率问题 设基数为a，平均增长（或减少）率为x，则第一次增长（或减少）后的值为a（1±x），第二次增长（或减少）后的值为a（1±x）2，以此类推，第n次增长（或减少）后的值为a（1±x）n． （3）几何图形问题 涉及的常见计算与证明有三角形的三边关系、三角形全等、三角形相似、勾股定理、各种规则图形的面积、体积或周长公式． （4）数字问题 一个两位数，十位数字为a，个位数字为b，则这个两位数表示为10a+b； 一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数表示为100a+10b+c． （5）商品销售问题 利润=售价一进价． 利润率==． 售价=进价×（1+利润率）． 打折后的价格=售价×打折数×． 总利润=总售价－总成本=单个利润×总销售量． （6）存款利息问题 税前利息=本金×利率×期数． （7）动点问题： 物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 1．列一元二次方程解决实际问题时应注意： （1）注意各类实际问题中常见的等量关系． （2）注意文字语言与代数式之间的互化，能把用文字语言表述的关系用代数式表示出来 （3）注意单位问题，一是在设未知数时必须写清单位；二是列方程时，要注意方程两边的单位必须一致，答时必须写上单位． （4）一般情况下一元二次方程有两个解，要注意检验方程的解是否符合题意以及使实际问题有意义． 2．列方程解实际问题的三个重要环节： （1）整体地、系统地审题； （2）把握问题中的等量关系； （3）正确求解方程并检验解的合理性． 考点中的“★”代表考频，★的数量越多，表示考试频度越高 考点01（★★★）数字问题 一个两位数，十位数字为a，个位数字为b，则这个两位数表示为10a+b；一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数表示为100a+10b+c． 【例1】 （2023秋 竹山县期中）对于任意一个四位数，若千位上的数字与个位上的数字之积是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“共生数”．例如：四位数2156，因为2×6＝2×（1+5），所以2156是“共生数”．有一个四位数为“共生数”，它的千位上的数字与个位上的数字相等，百位上的数字比千位上的数字多3，十位上的数字比个位上数字的一半少1，则这个“共生数”四位数的个位数字为（ ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】见试题解答内容 【分析】可令个位上的数字 ... ...
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