2025-2026学年天津市西青区杨柳青第一中学高二上学期第一次月考数学试卷（含答案）

2025-2026学年天津市西青区杨柳青第一中学高二上学期第一次月考数学试卷 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.直线的倾斜角是( ) A. B. C. D. 2.空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是( ) A. B. C. D. 3.如图所示，已知三棱锥，点，分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于( ) A. B. C. D. 4.如图所示，直线与的图象可能是( ) A. B. C. D. 5.直线，无论取何值，该直线恒过定点( ) A. B. C. D. 6.若两平行直线与之间的距离是，则( ) A. B. C. D. 7.已知直线的方向向量为，点在直线上，则点到直线的距离为( ) A. B. C. D. 8.在以下命题中： 若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则共线； 对空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面 若是两个不共线的向量，且，则构成空间的一个基底： 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底． 其中真命题的个数是( ) A. B. C. D. 9.如图，点是棱长为的正方体的侧面上的一个动点包含边界，则下列结论不正确的( ) A. 当时，点一定在线段上 B. 当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 C. 当点在棱上运动时，的最小值为 D. 线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10.已知向量，且，则的值为 ． 11.已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为 ． 12.已知，直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围 ． 13.设两直线与若，则 ，若，则 ． 14.已知直线过点，且在轴和轴上的截距互为相反数，则直线的方程为 ． 15.如图，在正方体中，，点分别为的中点，则平面截正方体所得截面面积为 ，动点满足，且，则当取得最小值时二面角的余弦值为 ． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.已知，． 若，求的值； 若，求实数的值； 若，求实数的值． 17.已知平行六面体的底面是边长为的菱形，且，． 证明：； 求异面直线与夹角的余弦值． 18.已知两条直线与的交点为． 求直线的斜率，以及它在轴的截距： 求过点，且斜率为的直线方程： 求过点，且与，的距离相等的直线方程． 19.如图，四棱锥 的底面是边长为的正方形，侧面底面，且 ，，分别为棱，的中点． 求证 ； 求异面直线与所成角的余弦值； 求点到平面的距离． 20.已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点． 求证：平面； 求平面与平面夹角的余弦值； 线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.或 15. 或 16.由已知可得，， 所以； 因为，， 又， 存在实数使得， ，，， 解得； 因为， 所以， 即， 解得． 17.设，， 由题可知：两两之间的夹角均为，且， 由 所以即证． 由，又 所以， 又 则 又异面直线夹角范围为 所以异面直线夹角的余弦值为． 18.由， 可得：， 即直线的斜率为，以及它在轴的截距； 联立，解得 点的坐标为 直线经过点，且斜率为， 直线的方程为，即． 当直线过点且与平行，可得，即直线的斜率， 故直线的方程，即； 当直线过点和的中点时，因为，，可得，则不存在， 所以直线的方程， 综上，满足条件的直线方程为或． 19.因为侧面底面，取中点， 因为，则交线，所以底面， 如图，以，所在直线分别为轴和轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， ， 则，所以； ， 所以， 设异面直线与所成角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 因为． 设平面的一个法向量为， 由，得 取，得， 所以，又， 所以点到平面的距离． 20.证明：法一：分别取、的中点、，连接、、， 由题意可知点、分别为线段、的中点．所以，， 因为， ... ...