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课件网) 第三章 函数的概念与性质 3.1 函数的概念及其表示 3.1.1 函数的概念 题型觉醒 高频题型：题型二、题型三 题型一 函数概念的理解 1.（2024黑龙江鸡西阶段练习）对于函数,若, ,则下列说法正确的个数为 ( ) ① ； ② 有且只有一个； ③若,则 ； ④若,则 . B A.4 B.3 C.2 D.1 【解析】 对于函数,若,,则根据函数的定义可得,且 唯一； （函数的单值性） 若,则 ,故①②④正确； 若,则不一定有,如,则,但 ,故③错误； 故说法正确的个数为3. . . 2.（2025湖南邵阳期中）已知集合, ,给出下列四个对应关系: ,,,,请由函数的定义判断,其中能构成从到 的函 数的是( ) D A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 【解析】 对于①,当时, ,故①不正确； 对于②,当时, ,故②不正确； 对于③,当时,,当时, ,故③正确； 对于④,当时,,当时, ,故④正确. 坑神来避坑 判断一个对应关系是不是函数主要从下面三个方面判断: 第一,定义域、值域是不是数集（本题显然是）； 第二,定义域内每一个在值域内是不是有和 对应； 第三,定义域内每一个在值域内是不是有“唯一”的和 对应. 3. （2025广东广州天河区期末）集合,与对应关系 如 图所示,下列说法正确的是( ) B A.若,则 B.是从集合到集合 的函数 C.,对应关系 D.的定义域为集合,值域为集合 【解析】 由图可得 ,则 , 则或,即或 ； 由图,对于集合中的每个元素在集合 中都有唯一的数与 其对应,符合函数定义； 坑神敲黑板 由函数定义,函数的定义域是集合,但是值域不一定是集合 ,确切地说值域是集 合 的子集. 因为,,当时,由图知,而 ； 由题图及函数定义,的定义域为集合,值域不是集合,是集合 的一个真子 集.（易错点） . . . . 题型二 函数定义域问题 题组一 求函数定义域 4.（2025广东汕头期末）函数 的定义域为_____. 【解析】 由题意可得解不等式组得且，所以函数 的定 义域为 . 5.（2025山东泰安检测）已知的定义域为,则 的定义域为_____. 已知函数的定义域,求复合函数 的定义域. 【解析】 因为函数的定义域为 , 所以对于函数,有(已知函数的定义域为 ,则复合 函数的定义域由不等式 求出) 解得 , 故函数的定义域为 . . . 6. （2025上海浦东新区检测）已知函数的定义域是,则函数 的定义域为_____. 已知的定义域,求的定义域,即求 的值域. 【解析】 由题意知,（）,则函数的定义域为 . . . 7.求下列函数的定义域. （1） ； 【答案】 由 （0次幂的底数不为0,二次根式被开方数非负且分母不为0） 得且 , 所以函数的定义域为 . （2） . 【答案】 由得即且 , 所以函数的定义域是 . . . 题组二 函数定义域求参问题 8.（2024江苏盐城期中联考）若函数的定义域是一切实数,则实数 的取值 范围是( ) C A. B. C. D. 【解析】 由题意可知对一切实数恒成立,若,则 ,符合题意； 若,则,解得.综上所述,实数的取值范围是 . 9.（2024黑龙江齐齐哈尔六中阶段练习）若函数的定义域为 ,则实数 ____,实数 的取值范围为_____. 【解析】 因为函数的定义域为则而函数 的 定义域为,所以,,即, . 题型三 函数值域问题 10.（2025重庆南开中学质量检测）已知函数的定义域为 , ,则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】 令,则,令,则 , 故有 解得即 . 11.（2025黑龙江哈尔滨期中）函数 的值域为( ) D A. B. C. D. 型函数,利用分离常数法求值域. 【解析】 因为函数的定义域为, , 所以函数的值域为 . 12.（2025上海曹杨二中月考）已知,若函数的值域为 , 则 的取值范围是_____. 【解析】 当时，,不符合题意；当时，由函数 的值域为,得函数值域包含,则 解得 . 13.求下列函数的值域. （1） ； 【答案】 换元法.令 ,（ 换元后务必注意新元的范围）所 以 , 即,当时,,即函数的值域为 . （2） ； 【答案】 配方法 ... ...
