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课件网) 第五章 三角函数 5.4 三角函数的图象与性质 5.4.3 正切函数的性质与图象 题型觉醒 高频题型：题型一、题型三、题型四 题型一 正切型函数的图象及其应用 1.（2025安徽淮南二中月考）与函数 的图象不相交的一条直线是( ) C A. B. C. D. 【解析】 解方程,然后对整数 赋值可得结果. 由,得,令,得 , 令,得,令,得,令,得 , 令,得,结合选项得函数的图象的一条渐近线为直线 , 即直线与函数 的图象不相交. 2.（2025陕西西安期末）当时,函数与函数 的图象 的交点个数为( ) C A.0 B.1 C.2 D.4 【解析】 作出函数与在 上的图象,如图, 观察图象,得函数与函数 的图象的交点个数为2. 3.（2025湖南衡阳期中）大招74不等式 的解集为_____ _____. 【解析】 根据题意,作出函数, 的图 象,如图所示,由,可得 , 所以不等式, 的解集为 . 4.（2025四川泸州期中）如图,函数 的部分 图象与轴交于,两点,与轴交于点,且的面积为,则 的值 为( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 根据题意,当时,,又的面积为 , ,, 函数的最小正周期为,（正切函数的图象与 轴 相邻两交点的距离为最小正周期）可得, . . . 题型二 求正切型函数的定义域与值域 5.（1） 函数 的定义域为_____. ,} 【解析】 由 , ,得 ,,所以函数的定义域为 , }. （2） （2025天津河西区期末）函数 的定义域为_____. 【解析】 对数函数的定义域为,故可知.由 ,得 .所以函数的定义域为 . 6.（1） 函数, 的值域是_____. 【解析】 （负化正）. ,令, . 函数在 上单调递增, ,即 , , 函数,的值域为 . . . （2） （2025安徽合肥六校联盟联考）已知,则函数 的值域是 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 根据正切函数的单调性确定 ,再根据指数函数的单调性即可求出 的值域,即得答案. 令,则,因为在 上单调递增, 所以,又在上单调递减,所以,即 的 值域是 . 7.（2025浙江台州期中）大招75求函数, 的最大值与最小 值之和. 【答案】 属于一元二次型.换元法求函数值域,首先令,根据 得 ,进而结合二次函数的图象与性质即可求解. 令,因为,所以 , 则原函数等价于,因为的图象的对称轴方程为 , 所以在上单调递减,在 上单调递增, 所以当时,,当时, , 故函数的最大值与最小值之和为 . 题型三 正切函数的周期性、奇偶性、对称性及应用 8. （2025山东东营期中）已知函数 ,则下列说法错误的是( ) A A.函数的最小正周期为 B.函数的值域为 C.点是函数 的图象的一个对称中心 D. 【解析】 因为,所以函数的最小正周期 ; （ 正切函数的最小正周期为 ,而非 ） 由正切函数的图象和性质可知函数的值域为 ; 由,,得,,当时,,所以点是函数 的图象的一个对称中心; 因为的最小正周期,所以 . . . 9.（2025江苏苏州期末）大招70,71函数 是( ) A A.周期为的偶函数 B.周期为的奇函数 C.周期为的偶函数 D.周期为 的奇函数 【解析】 由,,得,,则的定义域是, },所以 的定义域关于原点对称. 又,所以 是偶函数,（定义法）由此排除B,D选 项. ,所以的一个周期为 ,（定义法）A选项 正确. ,所以不是 的周期,所以C选项错误. 由,得,,则的定义域是, },所以 的定义域关于原点对称. . . . . 作出 的图象,如图所示,由图象可 知是偶函数,最小正周期 . 10. （2025河南洛阳调研）已知函数 图象上两个相邻对 称中心之间的距离为,则 ( ) B A.2 B.4 C.8 D.16 【解析】 设的最小正周期为,由函数 的图象上相邻两 个对称中心之间的距离为,知（相邻对称中心之间的距离为半个周期）,则 ,又 ,所以,即,则 . . . 坑神来避坑 正切函数图象的对称中心不只是图象与轴的交点,渐近线与 轴的交点也是对称中心,所 以相邻对称中心之间的距离为半个周期,而非一个周期. 11.（多选/2025云南昭通一中期末）已知函数 的部分图象如图所示, 则( ) ... ...
