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课件网) 第五章 三角函数 5.5 三角恒等变换 5.5.2 简单的三角恒等变换 题型觉醒 高频题型：题型一、题型三 题型一 半角公式与万能公式的应用 1.（2025广东佛山期末）已知角 是第二象限角,且终边经过点,则 ( ) C A.3 B. C.2 D. 或2 【解析】 角 是第二象限角,且终边经过点,, , . 角 是第二象限角,且终边经过点,, , . （根据半角公式求解）如图, 角 是第二象限角, 由【大招64】可得 为第一或第三象限角,其正切值为正. 角 的终边经过点 , , . 坑神有话说 是半角正切公式的有理形式. 2.（2025河北石家庄调研）已知且,则 ( ) D A.2 B.1 C.0 D. 【解析】 由二倍角公式，可得2 ,（利用公式 而不用 ,是因为用前者可以消去常数项2）所 以,即,解得 或 ,因为,所以,所以 ,所以 . （利用万能公式求解）因为, , 所以,即,解得 或 .又,所以 . . . 坑神有话说 万能公式使得任意角的三角函数值都可以与其半角的正切值建立联系. 3.（2025辽宁辽阳期末）已知,,则 _____. 【解析】 因为,所以 . 因为,所以 , 所以, , 所以 . 题型二 和差化积与积化和差公式的应用 4.（2025四川成都七中统练） ( ) A A. B. C. D. 【解析】 分子、分母分别用和差化积公式化简即可. . 5.（2025湖南省多校联考）已知, ,则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】 ,由积化和差公式可得 ,即 ,又,结合平方差公式可得 . ,又 ,结合平方差公式可得 . 6.（2025安徽芜湖一中期末）已知角 , 满足, ,则 的值为( ) C A. B. C. D. 【解析】 , , 由积化和差得 , 即 , 故 , 解得 . 7.（2025吉林长春吉大附中实验学校诊断）已知,是函数 , 的两个零点,则 ___. 【解析】 根据和差化积公式得 , 则令,当时,因为,则 ,此时无解； 当,因为,则,则 或 ,解得或 , 则 . 利用三角恒等式求解. 令,则,则, . 当,则 , , 当,则 , . 因为,对于 ,只有当时,,但0不在开区间 内. 对于 ,当分别取1,2时,,.因此 . 题型三 辅助角公式 8.求函数 的最大值( ) A A. B. C.2 D.1 因为定义域为,所以由辅助角公式可求出最大值为 . 【解析】 ,所以 的最 大值为 . 先利用两角差的余弦公式展开,合并同类项后,再利用辅助角公式求解. , 所以当,,即,时,取得最大值,最大值为 . 9.（2025陕西汉中联考）已知函数,当取得最大值时, __. 【解析】 由且 , 可得,此时 ,,所以 , ,故 . 10.（2025广东茂名期末） _____. 分子利用两角差的余弦公式向特殊角转化,分母利用辅助角公式转化. 【解析】 由题意知 . 11.（2025陕西渭南期中）已知的图象关于直线 对称,则函数 的图象的一条对称轴是直线 ( ) A A. B. C. D. 【解析】 因为直线是函数图象的一条对称轴,所以在 处 取得最值,所以,（由辅助角公式可知最大值为 , 最小值为 ） 所以 , . . 所以,令 , ,解得 ,,当时 ,即A选项. 由题易得的最小正周期 ,又直线为 图象的对称轴,所以 为图象的对称中心,（见【大招70】相邻对称轴和对称中心之间的距离为 ） 所以,即,解得 . 接下来的解法同大招解1. ,其中 , . . . . 又的图象关于直线对称,所以 ,,解得, ,故 . 接下来解法同大招解1. 的图象关于直线对称,所以 ,即 ,即,解得 . 接下来解法同大招解1. 题型四 判断三角形的形状 12.（2025湖北武昌期末）在中,,则 的形状为( ) C A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判定 【解析】 因为 , 所以 , 所以,所以,故为钝角,所以 为钝角三角形. 13.（2025北京东城区月考）在中,,则 的形状为( ) B A.等边三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 【解析】 在中,因为 , 所以 ,（左边要想与右边建立联系,则需要将右边 变成三角函数积的形式,这时可想到和、差角的正、余弦公式） 即 , 展开,整理化简得 . 因为,为三角形内角,所以,所以 . 因为为三角形内角, ... ...
