【精品解析】沪科版数学九年级上册21.4二次函数的应用之实际问题（培优练习）

沪科版数学九年级上册21.4二次函数的应用之实际问题（培优练习） 一、面积问题 1．（2024九上·荔湾期中）如图，用一块长为50cm、宽为30cm的长方形铁片制作一个无盖的盒子，若在铁片的四个角截去四个相同的小正方形，设小正方形的边长为xcm． （1）底面的长AB＝　 cm，宽BC＝　 cm（用含x的代数式表示） （2）当做成盒子的底面积为300cm2时，求该盒子的容积． （3）该盒子的侧面积S是否存在最大的情况？若存在，求出x的值及最大值是多少？若不存在，说明理由． 【答案】（1）50-2x，30-2x； （2）解：（50-2x）（30-2x）＝300 整理，得：x2-40x+300＝0， 解得：x1＝10，x2＝30（不符合题意，舍去） 当x1＝10时，盒子容积＝（50-20）（30-20）×10＝3000（cm3）； ∴盒子容积为3000cm3； （3）解：盒子的侧面积S＝2x（50-2x）+2x（30-2x）＝100x-4x2+60x-4x2＝-8x2+160x＝-8（x-10）2+800， ∵-8（x-10）2≤0， ∴-8（x-10）2+800≤800， 即当x＝10时，S有最大值，最大值为800cm2． 【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【解答】解：（1）AB＝（50-2x）cm，BC＝（30-2x）cm， 故答案为：50-2x，30-2x； 【分析】（1）根据长方形的长为50cm、宽为30cm，并且观察图可以发现，长和宽分别减去2个x，列式即可； （2）利用（1）中长与宽以及盒子的底面积为300cm2，可以列式并整理得到一个一元二次访厂，求出x的两个值，分析后得出x=10，最后利用长方体的体积计算公式列式计算即可求出盒子的容积； （3）列出盒子侧面积计算公式，整理得到一个抛物线方程，并利用配方法进行变形，即可求出最值． 2．（2025九上·绍兴月考）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动. 已知花圃一边靠墙(墙的长度不限)，其余部分用总长为60m的栅栏围成.兴趣小组设计了以下两种方案，设与墙垂直的边的长度为 xm，花圃的面积为 方案一 方案二 如图1，围成一个矩形花圃. 如图2，围成矩形花圃时，用栅栏(栅栏宽度忽略不计)将该花圃分隔为两个小矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3m 的进出口(此处不用栅栏). （1）在方案一中， ①求S与x的函数表达式； ②若围成的花圃面积为 ，求与墙垂直的边的长度； （2）要使方案二中花圃的面积最大，求与墙平行的边的长度为多少米 【答案】（1）解：①与墙垂直的边的长度为xm，则与墙平行的边的长度为(60-2x)m， ∴S=x(60-2x)=-2x2+60x， ②根据题意得-2x2+60x=450， 解得x1=x2=15， 答：与墙垂直的边的长度为15米. （2）解：设与墙平行的边的长度为tm，花圃的面积为Sm2，则与墙垂直的边的长度为， 根据题意得 ∴ ∵， ∴当t=33时，S有最大值363， 答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大. 【知识点】二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【分析】(1)①墙垂直的边的长度为xm，则与墙平行的边的长度为(60-2x)m，根据矩形的面积公式可得答案； ②根据题意可得一元二次方程，解方程即可； (2)设与墙平行的边的长度为tm，花圃的面积为Sm2，根据题意得到函数解析式，根据二次函数的性质求最值即可. 3．（2024九上·罗湖月考）课本中有一个例题： 有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？ 这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m2． 我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题： （1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积？ （2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明． 【答案】解：（1 ... ...