2.3.1 一元二次不等式及其解法 教案——2025-2026学年高中必修 第一册《数学》湘教版(新)

一元二次不等式及其解法 【教学目标】 1.掌握一元二次不等式的解法；能利用一元二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式，理解它们三者之间的内在联系. 2.经历探索“一元二次不等式与其对应一元二次函数及一元二次方程之间的关系” 的过程，渗透数形结合数学思想方法，理解“三个二次”之间的关系.培养学生观察、归纳、抽象的能力；培养从具体到抽象、从特殊到一般的归纳概括能力.通过从函数的动态角度看不等式问题，体会数学的整体性与联系性. 3.通过一系列富有探究性的问题，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，养成严谨的科学态度及勇于探索的精神.培养与他人交流、合作的意识. 【教学重点】一元二次不等式的解法，能从图象上找一元二次不等式的解集. 【教学难点】从函数的观点看不等式，理解一元二次不等式与其对应的一元二次方程、一元二次函数之间的关系. 【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习. 【教学手段】计算机、投影仪. 【核心素养】数学运算，数学抽象，逻辑推理. 【教学过程】 一、创设情境，引入课题 课前布置任务： 1.分别求一元一次不等式x+9>0；x+9<0的解集，联系一次函数y= x+9的图象，填空： x+9>0的解集与函数y= x+9的图象在x轴_____的点的横坐标的集合相同； x+9<0的解集与函数y= x+9的图象在x轴_____的点的横坐标的集合相同. 2.你能根据一元一次函数y=-x+3的图象，直接写出它所对应的一元一次不等式-x+3>0的解集吗？ 【设计意图】学生在初中阶段就已经会解一元一次不等式，但主要是根据不等式的性质进行求解.现在在问题的引导下，学生观察、思考一元一次函数与其所对应的一元一次不等式解集之间的关系，为本节课探究一元二次函数与其所对应的一元二次不等式解集之间关系的学习做准备. 新课引入 问题1：什么是一元二次不等式？ 【设计意图】开门见山，提出问题，激发学生思考. 二、归纳探索，形成概念 引入概念：一般地，形如ax2+bx+c≤0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“≥”“＞”“＜”等. 问题2：你能写出其他的一元二次不等式吗？ 根据学生举例，得到一元二次不等式的一般表达式.二次项系数，不等号可以是≤、＞或者≥. 【设计意图】学生在自主举例过程中加深对一元二次方程不等式这一概念的认识. 问题3：如何求或的解集？ 【探究1】从一元一次函数角度看一元一次不等式. 以课前作业为例，师生共同归纳“三个一次”（一元一次方程、一元一次函数、一元一次不等式）之间的关系. 【师生活动1】教师用几何画板展示一次函数y= x+9上的一个动点P，设其坐标为（x，y），因为P在直线上，所以纵坐标y=x+9，所以P点坐标可以记为（x，x+9）.请学生观察P点移动过程中，P点纵坐标x+9随着x的变化何时=0？何时>0？何时<0？ 【预案】 ①x+9>0的解集与函数y= x+9的图象在x轴上方的点的横坐标的集合相同； ②x+9<0的解集与函数y= x+9的图象在x轴下方的点的横坐标的集合相同. 【设计意图】教师引导学生从函数的角度看不等式，通过多媒体展示，学生能具体直观感受P点纵坐标y的正负与横坐标x之间的关系，加深学生对“三个一次”之间关系的认识，为总结“三个一次”之间关系做准备.其次，巩固之前的学习经验，并利用已有的学习经验帮助学生在本节课的学习中，突破难点、掌握重点. 【探究2】从一元二次函数角度看一元二次不等式 师生共同归纳“三个二次”（一元二次方程、一元二次函数、一元二次不等式）之间的关系. 教师几何画板展示之前，首先请学生根据探究1，猜测一元二次不等式解集与其函数图像的关系，并尝试对自己的猜想进行合理的解释. 【师生活动2】教师用几何画板展示一次函数上的一个动点P，设其坐标为（x，y），因为点P在 ... ...