宁远一中崇德学校教师解题大赛（数学）试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应的位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4．考生必须保证答题卡的整洁．考生结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．设集合，集合，，则 A． B． C． D． 2．若，则 A． B． C．1 D．2 3．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为 A． B． C． D． 4．若，则 A． B． C． D． 5．双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为 A． B． C． D． 6．已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为 A．1 B．2 C．4 D． 7．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是 A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是 A． B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的选项中，有多项选择符合题目要求.全部选对的6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9．已知函数的图像关于点中心对称，则 A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 10．设正整数，其中， 记．则 A． B． C． D． 11．已知的面积为，若，则 A． B． C． D． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12．二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则 ； 13．一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 ． 14．设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ②若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是 . 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（13分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 16．（15分）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． (1)求A到平面的距离； (2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 17．（15分）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 18．（17分）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上 ... ...
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