【精品解析】三角形的全等三角形（角平分线模型）-浙教版数学八年级上册培优训练

三角形的全等三角形（角平分线模型）-浙教版数学八年级上册培优训练 一、填空题 1．如图，已知点D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD.若AC=9，BC=5，则BD 的长为　 　. 2．如图，在△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，过点 D作DE⊥AC于点 E.若BD=3，CD=5，则△CDE的面积为　 　. 二、解答题 3．（2025八下·南山期中）如图，在四边形ABCD中，BD平分交BA的延长线于点于点． （1）求证：Rt； （2）若，求四边形ABCD的面积． 4．（2024八上·茌平期中）【阅读材料】 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 5．如图，已知在△ABC中，CF平分∠ACB，且AF⊥CF于点F，BE平分△ABC的一个外角，且AE⊥BE于点E． （1）求证：EF∥ BC． （2）若BC=5，AC=4，EF=4，求AB的长． 6．（2024八下·罗湖期中）已知：如图，在△ADC中，AD=CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E，连接BE. （1）求证：CE=CB； （2）若∠CAE=30°，CE=2，求BE的长度。 7．（2024八上·江门期中）已知，在的平分线上有一点，将一个三角板的直角顶点与点重合，它的两条直角边分别与相交于点． （1）如图①，当于点，于点时，和之间的数量关系为_____． （2）加图②，当三角板绕点旋转到与不垂直时，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 8．（2024八上·海淀期中）在中，分别平分． （1）如图1，若，则　 　； （2）如图2，连接，求证：平分； （3）如图3，若求的长． 答案解析部分 1．【答案】2 【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线构造全等模型 【解析】【解答】解： 延长BD与AC交于点E， 如图所示： ∵∠A=∠ABD， ∴BE=AE， ∵BD⊥CD， ∴BE⊥CD， ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD=∠ECD， ∴∠EBC=∠BEC， ∴△BEC为等腰三角形， ∴BC=CE， ∵BE⊥CD， ∴2BD=BE， ∵AC=9， BC=5， ∴CE=5， ∴AE=AC-EC=9-5=4， ∴BE=4， ∴BD=2， 故答案为：2. 【分析】延长BD与AC交于点E，先由题意可推出BE = AE， 再证△BCE为等腰三角形， 得BC=CE，然后由等腰三角形的性质得AE= BE=2BD， 即可推出BD的长度. 2．【答案】6 【知识点】角平分线的性质；勾股定理；角平分线构造全等模型 【解析】【解答】解：∵ AD 平分∠BAC，∠B =∠DEA=90°， ∴BD = DE = 3， 在 Rt△CDE 中， CE = 3×4=6. 故答案为：6. 【分析】根据角平分线的性质得到BD = DE = 3， 然后根据勾股定理求出CE长，利用三角形的面积公式解题即可. 3．【答案】（1）证明：平分， ， 在Rt和Rt中， ， Rt； （2）解：平分， ， 在Rt中，， ， ， 在Rt和Rt中， ， ， ， 由（1）知：Rt， ， ， 四边形ABCD的面积为． 【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；含30°角的直角三角形；角平分线构造全等模型 【解析】【分析】(1) 由于BD平分∠ABC，且DM⊥BA，DN⊥BC，根据角平分线上的点到角两边距离相等的性质，可得DM=DN，即可利用HL证明全等； (2)由∠ABC=60°，BD平分∠ABC，故∠DBC=30°；在Rt△BDN中，BD=8，∠DBC=30°，则可计算DN的长度，再利用勾 ... ...