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课件网) 综合与实践 进位制的认识与探究 在日常生活中，我们最熟悉的计数方式是十进制，但在计算机科学、数学研究和实际应用中，还存在二进制、八进制、十六进制等多种进位制。进位制是人类为了计数和运算方便而创造的数学工具，不同的进位制有着不同的特点和应用场景。通过对进位制的认识与探究，我们能更深入地理解数的表示本质，感受数学的逻辑性和实用性。 一、进位制的基本概念 定义： 进位制也称计数制，是指用一组固定的数字符号和统一的规则来表示数的方法。其中，“基数” 是进位制的核心要素，指计数时所使用的数字符号的个数。例如： 十进制的基数是\(10\)，使用的数字符号为\(0,1,2,\cdots,9\)； 二进制的基数是\(2\)，使用的数字符号为\(0,1\)； 八进制的基数是\(8\)，使用的数字符号为\(0,1,2,\cdots,7\)； 十六进制的基数是\(16\)，使用的数字符号为\(0,1,\cdots,9,A,B,C,D,E,F\)（其中\(A-F\)分别表示\(10-15\)）。 数位与权值： 在任何进位制中，每个数字的位置（数位）都对应一个 “权值”，权值的大小为基数的 “数位序号次方”（通常从右往左，数位序号从\(0\)开始）。例如： 十进制数\(345\)可表示为\(3 10^2 + 4 10^1 + 5 10^0\)，其中\(10^2,10^1,10^0\)分别是百位、十位、个位的权值； 二进制数\(101\)可表示为\(1 2^2 + 0 2^1 + 1 2^0 = 4 + 0 + 1 = 5\)（十进制结果），权值为\(2^2,2^1,2^0\)。 进位规则： 当某一位的数值达到基数时，就向高位进\(1\)，这一规则称为 “逢基进一”。例如： 十进制 “逢十进一”：\(9 + 1 = 10\)； 二进制 “逢二进一”：\(1 + 1 = 10\)（二进制）； 十六进制 “逢十六进一”：\(F + 1 = 10\)（十六进制）。 二、常见进位制的表示与转换 进位制的表示方法： 为了区分不同的进位制，通常在数的右下角标注基数，或在数的后面加字母后缀： 十进制：无特殊标注（如\(123\)）或加\(D\)（如\(123D\)）； 二进制：加\(B\)（如\(101B\)）； 八进制：加\(O\)（如\(12O\)）； 十六进制：加\(H\)（如\(2AH\)）。 非十进制数转换为十进制数： 方法：按权展开求和，即把每个数位上的数字乘以该数位的权值，再将所有结果相加。 示例 1：将二进制数\(1101B\)转换为十进制数 解：\(1101B = 1 2^3 + 1 2^2 + 0 2^1 + 1 2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13D\) 示例 2：将十六进制数\(3CH\)转换为十进制数 解：\(3CH = 3 16^1 + 12 16^0 = 48 + 12 = 60D\) 十进制数转换为非十进制数： 方法：整数部分 “除基取余，逆序排列”；小数部分 “乘基取整，顺序排列”。 示例 1：将十进制数\(25D\)转换为二进制数 解：整数部分除\(2\)取余：\(25 ·2 = 12\) 余\(1\)\(12 ·2 = 6\) 余\(0\)\(6 ·2 = 3\) 余\(0\)\(3 ·2 = 1\) 余\(1\)\(1 ·2 = 0\) 余\(1\) 逆序排列余数得\(11001B\)，即\(25D = 11001B\)。 示例 2：将十进制数\(78D\)转换为八进制数 解：整数部分除\(8\)取余：\(78 ·8 = 9\) 余\(6\)\(9 ·8 = 1\) 余\(1\)\(1 ·8 = 0\) 余\(1\) 逆序排列余数得\(116O\)，即\(78D = 116O\)。 二进制与八进制、十六进制的转换： 二进制与八进制：每\(3\)位二进制数对应\(1\)位八进制数（因\(2^3 = 8\)）。 示例：\(10110B = 010 110B = 26O\)（整数部分高位补\(0\)凑成\(3\)的倍数）。 二进制与十六进制：每\(4\)位二进制数对应\(1\)位十六进制数（因\(2^4 = 16\)）。 示例：\(110101B = 0011 0101B = 35H\)（整数部分高位补\(0\)凑成\(4\)的倍数）。 三、不同进位制的运算规则 二进制运算： 加法：\(0 + 0 = 0\)；\(0 + 1 = 1\)；\(1 + 0 = 1\)；\(1 + 1 = 10\)（逢二进一）。 示例：\(101B + 11B = 1000B\)（竖式计算：个位\(1+1=10\)进\( ... ...
