2.2 平方根（第2课时） 课件（共35张PPT）2025-2026学年八年级数学上册北师大版（2024）

(课件网) 2.2 平方根（第 2 课时） 在上一课时，我们初步认识了算术平方根，知道若一个正数\(x\)的平方等于\(a\)，即\(x^2 = a\)，那么这个正数\(x\)就叫做\(a\)的算术平方根，记作 “\(\sqrt{a}\)” 。那除了算术平方根，平方根还有哪些有趣的知识呢？让我们继续深入探究。 一、平方根的完整概念 （一）概念深入剖析 一般地，如果一个数\(x\)的平方等于\(a\)，即\(x^2 = a\)，那么这个数\(x\)就叫做\(a\)的平方根（或二次方根）。例如，因为\((\pm 3)^2 = 9\)，所以\(3\)和\(-3\)都是\(9\)的平方根 。 对比算术平方根，平方根的范围更广。正数\(a\)的算术平方根只是其平方根中的一个正根 。比如\(25\)的算术平方根是\(5\)，而\(25\)的平方根是\(\pm 5\) 。 （二）平方根的表示方法 一个正数\(a\)的平方根可记作 “\(\pm\sqrt{a}\)”，读作 “正负根号\(a\)” 。其中，“\(\sqrt{a}\)” 表示\(a\)的正平方根（即算术平方根），“\(-\sqrt{a}\)” 表示\(a\)的负平方根 。例如，\(16\)的平方根表示为\(\pm\sqrt{16}\)，因为\(\sqrt{16} = 4\)，所以\(16\)的平方根为\(\pm 4\) 。 （三）特殊数的平方根 正数的平方根：一个正数有两个平方根，它们互为相反数 。比如\(49\)，因为\(7^2 = 49\)，\(( - 7)^2 = 49\)，所以\(49\)的平方根是\(\pm 7\) 。这两个平方根一正一负，绝对值相等 。 0 的平方根：\(0\)的平方根是\(0\) 。因为\(0^2 = 0\)，且只有\(0\)自身平方后等于\(0\)，所以\(0\)的平方根具有唯一性 。 负数的平方根：在实数范围内，负数没有平方根 。因为任何实数的平方都不可能是负数，比如不存在一个实数\(x\)，使得\(x^2 = - 9\)成立 。 （四）例题解析 例 1：求下列各数的平方根： （1）\(121\) ；（2）\(\frac{16}{81}\) ；（3）\(0.04\) 。 解：（1）因为\((\pm 11)^2 = 121\)，所以\(121\)的平方根是\(\pm 11\)，即\(\pm\sqrt{121} = \pm 11\) 。 （2）因为\((\pm\frac{4}{9})^2 = \frac{16}{81}\)，所以\(\frac{16}{81}\)的平方根是\(\pm\frac{4}{9}\)，即\(\pm\sqrt{\frac{16}{81}} = \pm\frac{4}{9}\) 。 （3）因为\((\pm 0.2)^2 = 0.04\)，所以\(0.04\)的平方根是\(\pm 0.2\)，即\(\pm\sqrt{0.04} = \pm 0.2\) 。 二、开平方运算 （一）开平方的定义 求一个数\(a\)的平方根的运算，叫做开平方 。开平方与平方互为逆运算 。例如，我们知道\(6^2 = 36\)，那么通过开平方运算，就可以得到\(36\)的平方根为\(\pm 6\) 。 （二）利用开平方与平方的互逆性解题 例 2：已知\(x^2 = 49\)，求\(x\)的值 。 解：因为\(x^2 = 49\)，求\(x\)就是对\(49\)进行开平方运算 。又因为\((\pm 7)^2 = 49\)，所以\(x = \pm 7\) 。 （三）思考与讨论 思考：对于方程\((x - 3)^2 = 16\)，如何求解\(x\)的值呢？ 提示：可以把\((x - 3)\)看作一个整体，先对\(16\)进行开平方运算，得到\(\pm 4\)，即\(x - 3 = \pm 4\) 。然后分情况讨论： 当\(x - 3 = 4\)时，\(x = 4 + 3 = 7\) ； 当\(x - 3 = - 4\)时，\(x = - 4 + 3 = - 1\) 。 所以\(x\)的值为\(7\)或\(-1\) 。 三、平方根与算术平方根的区别和联系 （一）区别 个数不同：正数的平方根有两个，它们互为相反数；而正数的算术平方根只有一个，是正数 。例如，\(100\)的平方根是\(\pm 10\)，算术平方根是\(10\) 。 表示方法不同：平方根用 “\(\pm\sqrt{a}\)” 表示；算术平方根用 “\(\sqrt{a}\)” 表示 。 取值范围不同：平方根中，正数的平方根一正一负；算术平方根中，正数的算术平方根一定是正数，\(0\)的算术平方根是\(0\) 。 （二）联系 包含关系：算术平方根是平方根中的一个，正数\(a\)的正平方根就是它的算术平方根 ... ...