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课件网) 3.2.3 建立平面直角坐标系 在平面直角坐标系中，点的坐标特征为我们描述位置、研究图形提供了便利。但要实现这一功能，首先需要根据实际需求建立合适的平面直角坐标系。建立坐标系是将几何问题代数化的关键步骤，合理的坐标系能简化计算和分析过程。本节将学习建立平面直角坐标系的方法、原则及具体应用。 一、建立平面直角坐标系的意义 在现实生活和数学研究中，许多问题需要通过量化位置来解决。例如： 在地图上标注景点位置，需要确定各景点的坐标； 在几何证明中，通过坐标计算线段长度、角度大小等； 在工程设计中，精确描述零件各点的位置关系。 建立平面直角坐标系的核心意义在于将平面内的几何图形与代数坐标建立对应关系，实现 “数形结合”。通过坐标系，我们可以把图形的性质转化为坐标的运算，用代数方法解决几何问题，也可以通过坐标绘制图形，直观呈现代数关系。 二、建立平面直角坐标系的基本步骤 建立平面直角坐标系通常遵循以下步骤，这些步骤可根据具体问题灵活调整： （一）确定原点位置 原点是坐标系的基准点，通常选择图形的对称中心、顶点、端点或特殊点作为原点，以便简化坐标计算。例如： 研究矩形时，可选择一个顶点作为原点； 研究圆时，可选择圆心作为原点； 描述平面区域时，可选择区域内的中心点或左下角点作为原点。 （二）确定坐标轴方向 x 轴方向：通常选择水平向右为正方向，若图形有对称轴或特殊方向（如水平线、水平线），可沿该方向设定 x 轴； y 轴方向：通常选择竖直向上为正方向，与 x 轴垂直，形成右手直角坐标系（右手法则：右手拇指指向 x 轴正方向，食指指向 y 轴正方向）。 （三）确定单位长度 单位长度是坐标量化的标准，需根据图形的实际大小和精度要求确定： 若图形尺寸较小（如几何图形示意图），可选择 1 个单位长度代表 1cm、1 格等； 若涉及实际距离（如地图），需明确单位长度对应的实际长度（如 1 单位长度代表 100 米）； 同一坐标系中单位长度需保持统一，确保坐标的准确性。 （四）标注坐标系要素 建立坐标系后，需标注 x 轴、y 轴的正方向，注明原点\(O\)，并根据需要标注单位长度，使坐标系清晰易懂。 三、建立坐标系的原则 为了使建立的坐标系更实用、计算更简便，需遵循以下原则： （一）简化坐标计算 通过合理选择原点和坐标轴，使图形中尽可能多的点落在坐标轴上或坐标值为整数，减少计算复杂度。例如： 对于轴对称图形，可将对称轴作为坐标轴； 对于中心对称图形，可将对称中心作为原点。 （二）贴合实际情境 在实际问题中，坐标系的建立需符合情境习惯。例如： 地图中通常以正北方向为 y 轴正方向，正东方向为 x 轴正方向； 描述物体运动轨迹时，可将起点作为原点，运动方向作为坐标轴正方向。 （三）清晰呈现关系 坐标系应能清晰反映图形各部分的位置关系，避免因坐标轴倾斜、原点位置不当导致图形变形或关系模糊。 四、实例解析：几何图形中建立坐标系 （一）多边形中建立坐标系 例 1：在矩形\(ABCD\)中，\(AB = 4\)，\(BC = 3\)，建立平面直角坐标系，并写出各顶点的坐标。 解： 步骤 1：选择矩形的一个顶点作为原点，例如选择点\(A\)为原点\(O(0, 0)\)； 步骤 2：沿边\(AB\)所在直线为 x 轴，正方向向右；沿边\(AD\)所在直线为 y 轴，正方向向上； 步骤 3：确定单位长度，1 单位长度代表 1 个长度单位； 步骤 4：确定各顶点坐标： 点\(A\)在原点，坐标为\((0, 0)\)； 点\(B\)在 x 轴上，距离\(A\)为 4，坐标为\((4, 0)\)； 点\(D\)在 y 轴上，距离\(A\)为 3，坐标为\((0, 3)\)； 点\(C\)的横坐标与\(B\)相同，纵坐标与\(D\)相同，坐标为\((4, 3)\)。 （二）对称图形中建立坐标系 例 2 ... ...
