15.3.2角的平分线的性质与判定 课件（共46张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（沪科版版2024）

(课件网) 幻灯片 1：封面 标题：15.3.2 角的平分线的性质与判定 副标题：探究角平分线的核心特性与判定方法 教师姓名：[教师姓名] 授课日期：[具体日期] 幻灯片 2：复习回顾与情境引入 复习回顾：上节课学习了角平分线的三种作法，包括折叠法、度量法和尺规作图法，尤其是尺规作图法，我们还通过三角形全等证明了其原理。角平分线除了能将角平分这一基本特征外，还有哪些特殊的性质呢？反过来，如何判定一条射线是角的平分线呢？本节课将深入研究这些问题。 情境引入：如图，在∠AOB 的平分线 OC 上取一点 P，过点 P 分别作 OA、OB 的垂线，垂足为 D、E。测量 PD 和 PE 的长度，你发现了什么？如果在 OC 上再取另一点 Q，重复操作，结果是否相同？通过本节课的学习，我们将揭开角平分线的这一神秘面纱。 学习目标： 掌握角平分线的性质定理，能运用性质解决距离相等问题。 理解角平分线的判定定理，能根据距离关系判定角平分线。 能综合运用角平分线的性质和判定解决几何证明和计算问题。 体会数形结合思想，培养逻辑推理和几何应用能力。 幻灯片 3：角平分线的性质定理 探究活动：在∠AOB 的平分线 OC 上任意取一点 P，作 PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E。用直尺测量 PD 和 PE 的长度，记录数据并比较大小。换点 P 的位置多次实验，观察 PD 与 PE 的关系。 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。即如果点 P 在∠AOB 的平分线 OC 上，且 PD⊥OA，PE⊥OB，那么 PD = PE。 定理证明： 已知：OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB。 求证：PD = PE。 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）， ∴∠PDO = ∠PEO = 90°（垂直定义）。 ∵OC 是∠AOB 的平分线（已知）， ∴∠AOC = ∠BOC（角平分线定义）。 在△PDO 和△PEO 中， ∠PDO = ∠PEO（已证）， ∠AOC = ∠BOC（已证）， OP = OP（公共边）， ∴△PDO≌△PEO（AAS）。 ∴PD = PE（全等三角形对应边相等）。 图示理解：在图形中标注垂线、直角符号和相等的角，结合证明过程，让学生直观理解性质定理的由来和含义。 幻灯片 4：角平分线性质定理的应用（一）——— 求距离 例题 1：如图，在△ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，若 CD = 3cm，求点 D 到 AB 的距离。 分析：根据角平分线的性质定理，点 D 在∠BAC 的平分线上，所以点 D 到 AB 和 AC 的距离相等。因为∠C = 90°，DC⊥AC，所以 DC 的长度就是点 D 到 AC 的距离，进而可得点 D 到 AB 的距离。 解答过程：过点 D 作 DE⊥AB 于 E。 ∵AD 平分∠BAC，∠C = 90°，DE⊥AB， ∴DE = CD（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。 ∵CD = 3cm， ∴DE = 3cm，即点 D 到 AB 的距离为 3cm。 幻灯片 5：角平分线的判定定理 思考问题：反过来，如果一个点到角的两边的距离相等，那么这个点是否一定在这个角的平分线上呢？ 判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。即如果点 P 在∠AOB 的内部，PD⊥OA，PE⊥OB，且 PD = PE，那么点 P 在∠AOB 的平分线上。 定理证明： 已知：点 P 在∠AOB 的内部，PD⊥OA，PE⊥OB，且 PD = PE。 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上（即∠AOP = ∠BOP）。 证明：连接 OP。 ∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）， ∴∠PDO = ∠PEO = 90°（垂直定义）。 在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中， PD = PE（已知）， OP = OP（公共边）， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）。 ∴∠AOP = ∠BOP（全等三角形对应角相等），即点 P 在∠AOB 的平分线上。 理解拓展：判定定理是性质定理的逆定理，它为判断一个点是否在角的平分线上提供了依据，应用时需注意 “在角的内部” 这一前提条件。 幻灯片 6：角平分线判定定理的 ... ...