24.3一元二次方程根与系数的关系（课件）冀教版2025-2026学年九年级数学上册

(课件网) 幻灯片 1：封面 标题：24.3 一元二次方程根与系数的关系 副标题：探寻方程系数背后的根之奥秘 背景图：展示一个一元二次方程，其根用\(x_1\)、\(x_2\)标注，方程系数\(a\)、\(b\)、\(c\)用不同颜色突出，旁边辅以韦达的画像及简介，体现该知识点的重要性与历史渊源。 幻灯片 2：情境引入与思考 回顾旧知：我们已经熟练掌握了一元二次方程的多种解法，如因式分解法、配方法、公式法等，能准确求出方程的根。 问题抛出：观察方程\(x^2 - 5x + 6 = 0\)，它的根为\(x_1 = 2\)，\(x_2 = 3\)。计算两根之和\(x_1 + x_2 = 5\)，两根之积\(x_1x_2 = 6\)，与方程的系数\(1\)、\(-5\)、\(6\)有什么联系呢？对于一般形式的一元二次方程\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a 0\)），其根\(x_1\)、\(x_2\)与系数\(a\)、\(b\)、\(c\)是否也存在某种固定的数量关系？引出本节课主题。 幻灯片 3：特殊方程探究 方程列举： 解方程\(x^2 - 3x + 2 = 0\)，因式分解得\((x - 1)(x - 2) = 0\)，解得\(x_1 = 1\)，\(x_2 = 2\)。计算\(x_1 + x_2 = 3\)，\(x_1x_2 = 2\)。 解方程\(2x^2 + 5x - 3 = 0\)，因式分解得\((2x - 1)(x + 3) = 0\)，解得\(x_1 = \frac{1}{2}\)，\(x_2 = -3\)。计算\(x_1 + x_2 = -\frac{5}{2}\)，\(x_1x_2 = -\frac{3}{2}\)。 小组讨论：引导学生分组讨论，观察上述方程的根与系数，尝试总结出一般性的规律。 学生汇报：各小组代表发言，分享讨论结果，教师进行点评与总结，初步引导学生发现两根之和与两根之积和方程系数的关系。 幻灯片 4：韦达定理推导 设根表示：设一元二次方程\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a 0\)）的两个根为\(x_1\)、\(x_2\)。 求根公式回顾：由求根公式可知\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)，那么\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)，\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)。 推导两根之和： \(x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)。 通分得到\(x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac} - b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)。 化简后\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)。 推导两根之积： \(x_1x_2 = (\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}) (\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})\)。 根据平方差公式\((m + n)(m - n) = m^2 - n^2\)，这里\(m = -b\)，\(n = \sqrt{b^2 - 4ac}\)，则\(x_1x_2 = \frac{(-b)^2 - (\sqrt{b^2 - 4ac})^2}{4a^2}\)。 进一步化简\(x_1x_2 = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}\)。 定理呈现：得出韦达定理，即对于一元二次方程\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a 0\)），若它的两个根为\(x_1\)、\(x_2\)，则\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)，\(x_1x_2 = \frac{c}{a}\) 。 幻灯片 5：韦达定理的理解与记忆 文字表述：一元二次方程两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数。 记忆口诀：“两根之和负一次，两根之积常比次”，帮助学生快速记忆定理内容。 强调要点： 定理成立的前提是方程为一元二次方程，即\(a 0\)。 这里的根\(x_1\)、\(x_2\)包括实数根和虚数根（在后续学习复数时会深入理解）。 注意系数的符号，特别是在运用两根之和公式时，不要忘记负号。 幻灯片 6：韦达定理的简单应用 - 已知方程求根的和与积 例题 1：已知方程\(3x^2 - 2x - 5 = 0\)，求它的两根之和与两根之积。 分析：直接运用韦达定理，这里\(a = 3\)，\(b = -2\)，\(c = -5\)。 解答：两根之和\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-2}{3} = \frac{2}{3}\)，两根之积\(x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-5}{3} = -\fra ... ...