24.4.1 几何问题（课件）冀教版2025-2026学年九年级数学上册

(课件网) 幻灯片 1：封面 标题：24.4.1 几何问题 副标题：用一元二次方程解决图形中的数量关系 背景图：展示矩形场地改造、直角三角形零件设计、圆形花坛扩建等几何场景示意图，突出几何图形与方程的关联。 幻灯片 2：情境引入与问题提出 生活中的几何问题： 情境 1：学校要在一块长 20 米、宽 15 米的矩形空地上修建一个正方形花坛，剩余空地四周留出等宽的小路，小路面积为 156 平方米，求小路的宽度。 情境 2：一个直角三角形的两条直角边相差 3 厘米，面积为 9 平方厘米，求两条直角边的长度。 问题分析：这些几何问题中存在未知量和等量关系，需通过建立方程求解，而未知数的最高次数往往为 2，适合用一元二次方程解决。 核心思路：将几何图形的数量关系转化为代数方程，通过解方程获得几何量的数值。 幻灯片 3：几何问题中的等量关系梳理 面积相关： 矩形面积 = 长 × 宽，正方形面积 = 边长 ，三角形面积 =\(\frac{1}{2}\)× 底 × 高。 组合图形面积 = 各部分面积之和或差（如总面积 - 空白面积 = 阴影面积）。 周长相关： 矩形周长 = 2×(长 + 宽)，正方形周长 = 4× 边长，圆周长 = 2πr。 周长不变时，形状变化前后周长相等。 勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方（\(a +b =c \)）。 相似与全等：相似图形对应边成比例，全等图形对应边相等（特殊等量关系）。 幻灯片 4：例题讲解 1（矩形面积问题） 题目呈现：一块长 30 米、宽 20 米的矩形操场，要在四周修建宽度相同的跑道，剩余的中间矩形区域面积为 464 平方米，求跑道的宽度。 解题步骤： 设未知数：设跑道的宽度为 x 米。 表示关键量：中间矩形区域的长为 (30-2x) 米，宽为 (20-2x) 米（注意两边都有跑道，需减 2x）。 列等量关系：中间区域面积 = 长 × 宽，即 (30-2x)(20-2x)=464。 化简方程：展开得 600-60x-40x+4x =464，整理为 4x -100x+136=0，两边除以 4 得 x -25x+34=0。 解方程：因式分解得 (x-2)(x-17)=0，解得 x =2，x =17。 检验合理性：x=17 时，30-2x=30-34=-4（长度不能为负），舍去；故 x=2。 结论：跑道的宽度为 2 米。 幻灯片 5：例题讲解 2（直角三角形问题） 题目呈现：一个直角三角形的斜边长为 10 厘米，两条直角边的和为 14 厘米，求两条直角边的长度。 解题步骤： 设未知数：设其中一条直角边为 x 厘米，则另一条直角边为 (14-x) 厘米。 列等量关系：根据勾股定理，x +(14-x) =10 。 化简方程：展开得 x +196-28x+x =100，整理为 2x -28x+96=0，两边除以 2 得 x -14x+48=0。 解方程：因式分解得 (x-6)(x-8)=0，解得 x =6，x =8。 检验合理性：当 x=6 时，另一条边为 8 厘米；x=8 时，另一条边为 6 厘米，均满足条件。 结论：两条直角边的长度分别为 6 厘米和 8 厘米。 幻灯片 6：例题讲解 3（圆形面积问题） 题目呈现：一个圆形花坛的半径增加 2 米后，面积增加了 28π 平方米，求原来花坛的半径。 解题步骤： 设未知数：设原来花坛的半径为 r 米。 表示面积变化：原来面积为 πr ，半径增加后面积为 π(r+2) 。 列等量关系：增加后的面积 - 原来的面积 = 28π，即 π(r+2) - πr =28π。 化简方程：两边除以 π 得 (r+2) - r =28，展开得 r +4r+4 - r =28，整理为 4r+4=28，即 4r=24，解得 r=6。 检验合理性：r=6 时，面积增加量为 π×8 - π×6 =64π-36π=28π，符合题意。 结论：原来花坛的半径为 6 米。 幻灯片 7：解题步骤总结 审题画图：理解题意，画出几何图形，标注已知量和未知量。 设元表示：设未知数（通常设所求量为 x），用含 x 的代数式表示其他相关几何量。 找等量关系：根据几何图形的面积、周长、勾股定理等性质列出等量关系式 ... ...