25.1 比例线段（课件）冀教版2025-2026学年九年级数学上册

(课件网) 幻灯片 1：封面 标题：25.1 比例线段 副标题：探索线段长度的比例关系 背景图：展示建筑设计图纸、地图比例尺、相似几何图形等场景，突出比例线段在实际生活和几何中的广泛应用，搭配线段长度标注的示意图。 幻灯片 2：情境引入与旧知回顾 生活中的比例问题： 情境 1：一张建筑图纸上，某条线段标注长度为 5cm，实际对应建筑的长度为 10m，图纸与实际的长度比是多少？ 情境 2：地图上的比例尺为 1:50000，若地图上两地距离为 3cm，实际距离是多少？ 旧知回顾： 线段的长度：用刻度尺测量线段的长度，单位可以是 cm、m 等。 比的概念：两个数相除叫做两个数的比，记作\(a:b\)或\(\frac{a}{b}\)（\(b 0\)）。 问题提出：在几何图形中，多条线段的长度之间是否存在固定的比例关系？这种比例关系有什么性质？引出 “比例线段” 的概念。 幻灯片 3：线段的比与成比例线段 线段的比： 定义：如果用同一长度单位量得两条线段\(a\)、\(b\)的长度分别为\(m\)、\(n\)，那么这两条线段的比为\(a:b = m:n\)，或写成\(\frac{a}{b} = \frac{m}{n}\)，其中\(a\)叫做比的前项，\(b\)叫做比的后项。 注意事项：线段的比与所采用的长度单位无关，但单位必须统一；线段的比是一个正数。 示例：线段\(a = 2cm\)，线段\(b = 3cm\)，则\(a:b = 2:3\)。 成比例线段： 定义：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 表示方法：若四条线段\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)成比例，记作\(a:b = c:d\)或\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)，其中\(a\)、\(d\)叫做比例外项，\(b\)、\(c\)叫做比例内项，\(d\)叫做\(a\)、\(b\)、\(c\)的第四比例项。 特殊情况：若\(a:b = b:c\)，则\(b\)叫做\(a\)、\(c\)的比例中项。 幻灯片 4：比例的基本性质 基本性质：如果\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)（\(b 0\)，\(d 0\)），那么\(ad = bc\)（交叉相乘相等）。 推导：由\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)两边同乘\(bd\)（\(bd 0\)），可得\(ad = bc\)。 逆定理：如果\(ad = bc\)（\(b 0\)，\(d 0\)），那么\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)。 比例中项性质：若\(a:b = b:c\)，则\(b = ac\)（\(b\)为\(a\)、\(c\)的比例中项）。 示例：若 3 是 6 和\(x\)的比例中项，则\(3 = 6x\)，解得\(x = \frac{9}{6} = 1.5\)。 性质应用：利用比例的基本性质可以进行比例式与等积式的互化，解决线段长度的计算问题。 幻灯片 5：例题讲解 1（线段的比与比例线段判断） 题目呈现：已知线段\(a = 4cm\)，\(b = 6cm\)，\(c = 8cm\)，\(d = 12cm\)，判断这四条线段是否成比例线段。 解题步骤： 计算线段的比：计算\(\frac{a}{b} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)，\(\frac{c}{d} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\)。 比较比例关系：因为\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)，所以这四条线段成比例线段，即\(a:b = c:d\)。 变式练习：若线段\(a = 2cm\)，\(b = 3cm\)，\(c = 4cm\)，求\(d\)的值，使\(a:b = c:d\)。 解答：由比例基本性质得\(2d = 3 4\)，即\(2d = 12\)，解得\(d = 6cm\)。 幻灯片 6：合比性质与等比性质 合比性质：如果\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)，那么\(\frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}\)。 推导：\(\frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1\)，即\(\frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}\)。 延伸：同理可得\(\frac{a - b}{b} = \frac{c - d}{d}\)。 示例：若\(\frac{x}{y} = \frac{3}{5}\)，则\(\frac{x + y}{y} = \frac{3 + 5}{5} = \frac{8}{5}\)。 等比性质：如果\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \cdots = \frac{m}{n}\)（\(b + d + \cdots + n 0\)）， ... ...