第4章 三角形 4.2 命题与证明 4.2.2 证明、举反例 1.会用“举反例”的方法说明一个命题是假命题. 2.会用“证明”的方法说明一个命题是真命题. 3.会用“反证法”的方法说明一个命题是真命题. 做一做：判断下列命题是真命题还是假命题？你是怎样判断的？ (1)若a是有理数，则a是整数. (2)有理数的绝对值是正数. 如何判断一个命题是假命题呢? 0.1是有理数，但不是整数。 0的绝对值是0，不是正数。 假命题 假命题 一般地，对于一个命题，如果能举出一个例子，使之符合命题条件，但不满足命题结论，就可判断该命题为假命题，这种做法称为举反例. 举反例 例1 命题“如果ab=0，那么a=0”是真命题还是假命题? 解： 1×0=0，但是1≠0， 因此“如果ab=0，那么a=0”是假命题. 1.用举反例的方法说明下列命题是假命题. (1)若a?=b?，则a=b; (2)一个角的余角大于这个角; (3)若a，b是有理数，则|a+b|=|a|+|b|; (4) 如果∠A=∠B,那么∠A与∠B是对顶角. a=1,b=-1,1?=（-1）?,a≠???? ? 若这个角为72度，它的余角为18度 若a=3，b=-1,|a+b|≠|a|+|b| ? 试一试 思考：如何判断一个命题是真命题呢? 命题的条件 逻辑推理、计算 定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题 命题的结论成立 上面的过程叫做证明. 例2 证明:如果实数a≠0或实数b≠0，那么a?+ b?≠0 证明： 若a≠0，则a?为正数. 又b?为正数或0，从而a?+b?是正数， 因此a?+b?≠0. 同理可得，若b≠0，则a?+b?≠0. 2.用反证法证明：如果实数a≠0或实数b≠0，那么a?+ b?≠0 证明：假设a?+ b?=0， 从而a=0,b=0. 这与已知条件“实数a≠0或实数b≠0”矛盾，故假设不成立. 因此，如果实数a≠0或实数b≠0，那么a?+ b?≠0. 试一试 例3 证明:△ABC的三个内角中至少有一个角大于或等于60°. 有什么其他更好的办法来证明呢？ 第一步：我们可以先假设命题不成立 “有一个”“有两个”“有三个” 可以假设没有一个满足条件，假设△ABC的三个内角中没有一个角大于或等于60°，则∠A<60°，∠B<60°,∠C<60°。 第二步：从上面这个假设出发进行证明 导出矛盾 否定假设 显然，直接从条件出发，情况较多， 证明不太方便. 例3 证明:△ABC的三个内角中至少有一个角大于或等于60°. 证明： 假设△ABC的三个内角中没有一个角大于或等于60°，则∠A<60°，∠B<60°,∠C<60°， 从而∠A+∠B+∠C<60°+60°+60°=180°. 这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，故假设不成立. 因此，△ABC的三个内角中至少有至少有一个角大于或等于60°。 否定结论 导出矛盾 肯定结论 1.反证法 (1)假设命题不成立; (2)导出矛盾; (3)肯定结论. 当直接从条件出发证明一个命题比较困难时，可以先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出与已知条件、定义、基本事实、真命题等产生矛盾，得出假设不成立，从而判断所求证命题正确.这种证明方法叫作反证法. 2.反证法的基本步骤 要点归纳 原词语 否定词 原词语 否定词 等于 任意的 是 至少有一个 都是 至多有一个 大于 至少有n个 小于 至多有n个 对所有x成立 对任何x不成立 不是 不都是 不大于 不小于 一个也没有 至少有两个 至多有(n-1)个 至少有(n+1)个 存在某个x不成立 存在某个x成立 不等于 某个 准确地作出“结论的反面”是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式. ? 1.用反证法证明：“在△ABC中，∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°.”第一步应假设（ ） A. ∠A＝60° B. ∠A＜60° C. ∠A ≠ 60° D. ∠A ≤ 60° D 2.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是( ) A．两个内角是直角 B．有三个内角是直角 C．至少有两个内角是直角 D．没有一个内角是直角 C 3. 求证：△ABC 中不能有两个钝角． 证明：假设△ABC 中有两个钝角， 不妨设∠A＜90°，∠B＞90°，∠C＞90 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
