4.2.2 证明、举反例 课件 (共21张PPT)2025-2026学年湘教版（2024）初中数学八年级上册

(课件网) 4.2.2 证明、举反例 1．通过具体事例掌握举反例，证明，反证法等概念． 2．会判断一个命题的真假，并会给假命题举出反例． 3．通过具体例题，体会反证法的意义，学会用反证法解决特殊问题． 如：0 的绝对值是 0，不是正数. 1. 有理数的绝对值是正数. 假命题 说一说：下列命题是真命题还是假命题？如何快速度判断. 2. 如果 | a | = | b |，那么 a = b. 如： a = -1，b = 1， | a | = | b |，但 a≠b. 假命题 举出一个不满足的例子即可. 一般地，对于一个命题，如果能举出一个例子，使之符合命题条件，但不满足命题结论，就可判断该命题为假命题，这种做法称为举反例. 举反例: 例1 命题“如果ab = 0，那么a = 0”是真命题还是假命题？ 解： 1 × 0 = 0，但是1 ≠ 0，因此“如果 ab = 0，那么a = 0”是假命题. 1.用举反例的方法说明下列命题是假命题. （1）若a2=b2，则a=b； （2）一个角的余角大于这个角； （3）若a，b是有理数，则| a+b |=| a |+| b |； （4）如果∠A=∠B，那么∠A与∠B是对顶角. 解：（1）12=（-1）2，但是1 ≠-1，因此“若a2=b2，则a=b”是假命题. （2）设这个角是50°，它的余角是40°，但40°＜50°，因此“一个角的余角大于这个角”是假命题. 解：（3）设a=2,b=-1，| 2+（-1） |≠| 2 |+| -1 |，因此“若a，b是有理数，则| a+b |=| a |+| b |”是假命题. （4）在等腰△ABC中，∠A=∠B=70°，∠C=40°，但∠A与∠B不是对顶角，因此“如果∠A=∠B，那么∠A与∠B是对顶角”是假命题. 1.用举反例的方法说明下列命题是假命题. （3）若a，b是有理数，则| a+b |=| a |+| b |； （4）如果∠A=∠B，那么∠A与∠B是对顶角. 思考：我们用举反例的方法可以说明命题是假命题，那如何判断一个命题是真命题呢？ 判断一个命题是真命题，通常需从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成立，这一过程就是通常所说的证明. 说明：(1)证明一个命题是真命题的依据可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等. (2)证明的每一步都必须要有根据. 证实其他命题的正确性 推 理 推理的过程即证明 基本事实或定义 一些条件 + 真命题证明的一般过程： 例2 证明：如果实数a ≠ 0或实数b ≠ 0，那么a2 + b2 ≠ 0. 证明：若a ≠ 0，则a2为正数. 又b2为正数或0，从而a2 + b2 是正数，因此a2 + b2 ≠ 0. 同理可得，若b ≠ 0，则a2 + b2 ≠ 0. 例3 证明：△ABC的三个内角中至少有一个角大于或等于60°. 分析 ：“至少有一个”意味着“有一个”“有两个”“有三个”，因而应分三种情况进行证明. 从反面出发！ 直接从条件出发，情况较多，证明不太方便. 假设△ABC的三个内角中没有一个角大于或等于60° 证明：假设△ABC的三个内角中没有一个角大于或等于60°， 则∠A < 60°，∠B < 60°，∠C < 60°， 从而∠A + ∠B + ∠C < 60°+ 60°+ 60°= 180°. 这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，故假设不成立. 因此，△ABC的三个内角中至少有一个角大于或等于60°. 例3 证明：△ABC的三个内角中至少有一个角大于或等于60°. 这种方法叫做“反证法” 当直接从条件出发证明一个命题比较困难时，可以先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出与已知条件矛 盾，或者与定义、基本事实、已经证明了的真命题等矛盾，从而得出假设不成立，即所求证的命题是正确的. 这种证明方法叫作反证法. 反证法: 反证法基本步骤： 用反证法证明时，导出矛盾的几种可能如下： （1）与原命题的条件矛盾； （2）与假设矛盾; （3）与定义、公理、定理、性质矛盾； （4）与客观事实矛盾. （1） 假设命题不成立；（2 ... ...