4.2.3 定理、推论 课件（共17页ppt） 2025-2026学年湘教版（2024）初中数学八年级上册

4.2.3 定理、推论 1．通过具体事例掌握定理、推论、逆定理、互逆定理等概念． 2．掌握命题证明的过程与方法，会写规范的证明过程． 命题有真命题与假命题之分.假命题用举反例来说明，真命题是通过证明来说明. 真命题证明的一般过程： 命题的条件 逻辑推理、计算 定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题 命题的结论成立 三角形的内角和等于180° 证明了它是真命题 三角形内角和定理 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 利用三角形的内角和定理证明了它是真命题 三角形内角和定理的推理 利用某个定理直接推导出的真命题叫作这个定理的推论. 经过证明为真的命题叫作定理. 探究：如图，在△ABC中，已知∠BAC = 80°，∠ABC = 60°， ∠BCA = 40°， ∠ACE， ∠CBD，∠BAF 是 △ABC 的三个外角， 问：这三个外角的和等于多少度？由此你能猜测出什么结论？如何证明呢？ 证明：因为 ∠ACE = 180°- 40°= 140°， ∠CBD = 180°- 60°= 120°， ∠BAF =180°- 80°= 100°， 所以∠ACE + ∠CBD + ∠BAF = 140°+ 120°+ 100°= 360°. A B C D F E 80° 60° 40° 猜测：三角形的三个外角之和等于360°. 证明：如图 ，△ABC的三个外角分别为∠BAF，∠CBD，∠ACE. 因为∠BAF = 180°- ∠BAC， ∠CBD = 180°- ∠ABC， ∠ACE = 180°- ∠ACB， A B C D F E 所以 ∠BAF + ∠CBD + ∠ACE =（180°- ∠BAC）+（180°- ∠ABC）+（180°- ∠ACB） = 540°-（∠BAC + ∠ABC + ∠ACB） = 540°- 180° = 360°. 由此可得：三角形的外角和等于360°. 如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就称它为原定理的逆定理，并将这两个定理称为互逆定理. 逆定理，互逆定理: 例如，平行线的性质定理 1（两直线平行，同位角相等）与平行线的判定定理1（同位角相等，两直线平行）是互逆定理. 判断一个定理是否有逆定理 写出这个定理的逆命题 为真命题 为假命题 是原定理的逆定理 原定理没有逆定理 提醒：定理是真命题，但真命题不一定是定理； 任何定理都有逆命题，但这个逆命题不一 定是真命题，所以并不是每一个定理都有逆定理. 想一想：如何判断一个定理是否有逆定理？ 判一判：下列定理有没有逆定理？ （1）对顶角相等； （2）两直线平行，同旁内角互补. 解：（1）逆命题：相等的角是对顶角. 这个逆命题不正确，原定理没有逆定理． （2）逆命题：同旁内角互补，两直线平行. 这个逆命题正确，原定理有逆定理． 例1 证明：在一个三角形中有两个角相等，则与第三个角相邻的外角平分线平行于第三个角的对边. 分析：对于文字证明题，一般先画出图形，再写出已知、求证，然后进行证明. 已知：如图，在△ABC 中，∠B = ∠C，AE 是外角∠CAD 的平分线. 求证：AE∥BC. 证明：根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可得， ∠CAD = ∠B + ∠C.又∠B = ∠C， 于是∠CAD = 2∠B. 由于AE是∠CAD的平分线， 因此∠CAD = 2∠DAE， 从而2∠B = 2∠DAE， 即∠B = ∠DAE. 所以AE∥BC（同位角相等，两直线平行）. 第一步 根据题意 根据命题的条件画出图形，将文字语言转换为符号（图形）语言 第二步 根据条件、结论 结合图形 第三步 定义、基本事实， 已有定理 进行证明 写出已知、求证 反证法是一种 重要方法 证明与图形有关的命题时的步骤： 1.如图，证明“三角形任意两边之和大于第三边”时，得到“ AB+AC>BC ” 的依据是( ) . ? D A.通过度量线段的长度 B.过两点有且只有一条直线 C.整体大于部分 D.连接两点的所有连线中，线段最短 2.如图，下列推理正确的是( ) B A.因为?∠1=∠4 ，所以?AB//CD B. 因为?∠2=∠3 ， 所以?AE//DF C. ?因为∠1=∠3 ，所以?AB//DF D. ?因为∠2=∠3 ，所以?AE//DC ? 3.证明：如图，在四边形 ABCD 中，如果 ... ...