(课件网) 人教版九上 数学 同步课件 1.探索并证明切线长定理. 2.了解三角形的内切圆、内心的概念. 3.会运用切线长定理进行计算与证明. 4.能用尺规作图：作三角形的内切圆. 前面我们已经学习了切线的判定和性质，已知⊙O和⊙O外一点 P，你能过点 P 画出⊙O 的切线吗？ O. P A B 我们发现，过圆外一点可以作圆的两条切线，那么这两条切线之间有什么关系呢？ 作图依据： 直径所对的圆周角是直角. 如图，过圆外一点P有两条直线PA，PB分别与☉O相切，经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长. ①切线是直线，不可度量； ②切线长是切线上切点与切点外另一点之间的线段的长，可以度量. 温馨提示 P O A B 探究 如图，PA，PB是☉O的两条切线，切点分别为A，B. 在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？ PA=PB，∠APO=∠BPO. 接下来我们一起来证明一下这个结论. 证明：如图，连接OA和OB. ∵PA和PB是⊙O的两条切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP. 又OA=OB，OP=OP. ∴Rt△AOP ≌ Rt△BOP(HL). ∴PA=PB，∠APO=∠BPO. P O A B 已知：如图，PA，PB是☉O的两条切线，切点分别为A，B. 求证：PA=PB，∠APO=∠BPO. 切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. PA、PB分别切☉O于A、B PA = PB ∠OPA=∠OPB 应用条件: 数学语言: ∵PA、PB是☉O的两条切线，A，B为切点 ∴PA=PB，∠APO=∠BPO P O A B 归纳总结 例1 下列说法正确的是( ) A．过任意一点总可以作圆的两条切线 B．圆的切线长就是圆的切线的长度 C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等 D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径 C 思考 如图是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？ 分析：要作的这个圆的圆心到三角形三条边的距离都等于半径，而我们以前学过，三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离都相等. 已知：△ABC. 求作：和△ABC的各边都相切的圆. M N D 作法： 1.作∠ABC 和∠ACB的平分线BM 和CN，交点为O. 2.过点O作OD⊥BC，垂足为D. 3.以O为圆心，OD为半径作圆O. ☉O就是所求的圆. A B C O 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，这个三角形叫做这个圆的外切三角形. B A C O ☉O是△ABC的内切圆，点O是△ABC的内心，△ABC是☉O的外切三角形. 归纳总结 例2 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9，BC=14，CA=13. 求AF，BD，CE的长. 解：设AF=x，则AE=x. CD=CE=AC-AE=13-x， BD=BF=AB-AF=9-x. 由BD + CD=BC，可得(13-x)+(9-x)=14. 解得 x=4. 因此 AF=4，BD=5，CE=9. 变式 如图，△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，☉O为△ABC的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则☉O的面积为_____(结果保留π). A C B E F D O π 解析：连接OE、OF， ∵AC=3，BC=4，∠C=90°，∴AB=5， ∵☉O为△ABC的内切圆，D、E、F为切点， ∴EB=DB，CE=CF，AD=AF，OE⊥BC，OF⊥AC， 又∵∠C=90°，OF=OE，∴四边形ECFO为正方形， ∴设OE=OF=CF=CE=x，∴BE=4-x，FA=3-x， ∴DB=4-x，AD=3-x， ∴AB=AD+DB=3-x+4-x=5，解得x=1， 则☉O的面积为π. 求三角形内切圆的问题，一般的作辅助线的方法为： 一是连顶点、内心产生角平分线； 二是连切点、内心产生半径及垂直条件. 温馨提示 例3 如图，在△ABC中，∠A=76°，点 I 是△ABC的内心，求∠BIC的度数. A B C I 解：连接IB，IC. ∵点 I 是△ABC的内心， ∴BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB. ... ...
