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课件网) 3.1.1 椭圆及其标准方程 第2课时 第三章 圆锥曲线的方程 数学 学习目标 ①进一步深化对椭圆定义的理解，并能应用椭圆的定义解决实际问题. ②能利用所学的知识，选择适当的方法解决简单的轨迹问题. ③在解决问题的过程中进一步体会“坐标法”在解决几何问题中的作用. 学习重难点 重点： 解决简单的动点轨迹问题. 难点： 选择适当的方法解决动点轨迹（轨迹方程）问题. 课堂导入 复习 1.椭圆的定义是什么？ 2.（1）椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ （2）椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ 3.焦点在x轴的椭圆的标准方程、焦点坐标及焦距是什么？ 4.焦点在y轴的椭圆的标准方程是什么？ 5.待定系数法求椭圆轨迹方程的一般步骤是什么？什么情况下可以使用待定系数法求动点的轨迹方程？ 课堂导入 问题 动点的轨迹问题可分为两大类： 已知动点的轨迹类型与未知动点的轨迹类型，使用待定系数法可以解决 已知轨迹类型的求轨迹问题，那未知轨迹类型的求轨迹问题如何求解呢？ 课堂探究 任务一 利用坐标法求椭圆的轨迹方程. 探究：已知，，E，F分别为的外心和重心，且 ，求点C的轨迹的方程. 解：设，则的重心， ，， 又为的外心， ， ，化简得， 所以，点的轨迹的方程为，是焦点在轴上的椭圆. 课堂探究 任务二 利用定义法求轨迹方程 探究：如图，已知一个动圆过定点，且与定圆B：内切，求动点M的轨迹方程. x y A M B O 思考：动点M的轨迹类型是否已知？ 追问1:根据相切的性质，|MA|+|MB|的和是不是常数？它与|AB|的大小关系怎样？ 追问2:根据追问1的结论，你能得出动点的轨迹类型吗？用什么方法可求出动点的轨迹方程？ 课堂探究 任务二 利用定义法求轨迹方程 探究：如图，已知一个动圆过定点，且与定圆B：内切，求动点M的轨迹方程. x y A M B O 解：设，圆的方程可化为，则圆心，半径为. 因为圆与圆内切，所以. 所以，. 由椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点的椭圆. 因为焦点在上，设椭圆的方程为. 由题意可知，，，得3，. 所以. 所以，动点的轨迹方程为. 课堂探究 归纳新知 小结：（1）有些未知轨迹类型的问题，可以通过分析，利用已学特殊曲线的定义转化为已知轨迹类型，然后采用待定系数法求其轨迹方程，这种求轨迹的方法通常称为定义法. （2）定义法求动点轨迹方程的一般步骤： ①建立恰当的坐标系； ②根据题意，列出动点满足的几何关系，根据某些已知曲线动点定义确定动点的轨迹形状； ③利用待定系数法求出轨迹方程，并检验所求的轨迹上的点是否都符合题意. 课堂探究 任务三 利用相关点法求动点的轨迹方程 探究：如图，在圆上任取一点P，过点P做x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？ 思考1：所求动点M是由哪个点的运动引起的？根据题意它们的坐标之间存在什么数量关系？ 追问1：相关点P与M的轨迹情况怎样？ 追问2：怎样通过点P的轨迹求动点M的轨迹方程？ 思考2：能利用相关点法求动点轨迹的问题有什么特征？ 课堂探究 任务三 利用相关点法求动点的轨迹方程 探究：如图，在圆上任取一点P，过点P做x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？ 解：设点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为，由点是线段的中点，得，. 因为在圆上，所以.① 把，代入方程①，得即1. 所以，点的轨迹是椭圆. 课堂探究 归纳新知 总结：相关点法求动点轨迹方程的一般步骤： ①设所求轨迹的动点坐标为,已知轨迹的动点坐标为； ②根据两动点的关系用表示出； ③将关于的的表达式代入已知轨迹 ... ...
