青岛市自主招生考试数学-专题四、方程问题（1）（适中版）（原卷+解析）

2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 专题四、方程问题（1）（适中版） 一、单选题 1．若一元二次方程的两根的平方和大于2，则m的取值范围是（ ）． A． B． C．或 D．或 E．或 2．已知为实数，关于，的方程组有整数解，则的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．若方程的两个不相等的实数根，满足，则实数的所有可能的值之和为（ ） A．0 B． C．-1 D． 4．已知为关于的方程的三个实数根，则（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．要使分式有意义，则x的取值范围是（ ） A． B．且 C．且 D． 6．方程的实根个数为（ ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．若实数，，满足等式，，则可能取的最大值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．已知两个多项式、（为实数），以下结论中正确的个数是（ ） ①若，则； ②若，则； ③若，则关于的方程无实数根； ④若为整数，且值为整数，则的取值个数为个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9．已知互不相等的实数，，满足，则 ． 10．在中，的对边顺次为．若关于x的方程的两根的平方和等于10，则的值为 ． 11．如果实数，满足条件，，则 ． 12．方程的解共有 ． 13．已知方程（其中a为非负整数）至少有一个整数根，那么 ． 14．已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为，，且．设满足上述要求的的最大值和最小值分别为，，则 ． 三、解答题 15．如果一个四位自然数M的千位数字和百位数字相等，十位数字和个位数字之和为8，我们称这样的数为“等合数”，例如：对于四位数5562，∵5=5且6+2=8，∴5562为“等合数”，又如：对于四位数4432，∵4=4但3+2≠8，所以4432不是“等合数” (1)判断6627、1135是否是“等合数”，并说明理由； (2)已知M为一个“等合数”，且M能被9整除．将M的各个数位数字之和记为P（M），将M的个位数字与十位数字的差的绝对值记为Q（M），并令G（M）=P（M）×Q（M），当G（M）是完全平方数（0除外）时，求出所有满足条件的M． 16．定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”．例如：是“自然方程”． (1)下列方程是“自然方程”的是_____；（填序号） ①；②；③． (2)若方程是“自然方程”，求的值． 17．已知关于x的方程有两个实根相等，求a的值． 18．已知，并且关于x的方程①至多有一个解，试问：关于x的方程②是否一定有解？证明你的结论． 19．已知a，b，c是正数，且关于x的方程没有实数根，证明：以a，b，c为长度的线段可组成一个三角形的三条边长． 20．a是大于0的实数，已知存在唯一实数k，使得关于x的二次方程的两个根均为质数，求a的值． 试卷第4页，共4页 试卷第1页，共4页2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 专题四、方程问题（1）（适中版） 一、单选题 1．若一元二次方程的两根的平方和大于2，则m的取值范围是（ ）． A． B． C．或 D．或 E．或 【答案】E 【详解】解 设方程的两根为则， 从而． 依题意得 （Ⅰ）， 即 由①得，所以或； 由②得，所以或 故不等式组（Ⅰ）的解为或．故选E． 2．已知为实数，关于，的方程组有整数解，则的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由，∴． 由，可知必为偶数， 又为整数，所以．故选C． 3．若方程的两个不相等的实数根，满足，则实数的所有可能的值之和为（ ） A．0 B． C．-1 D． 【答案】B 【详解】解：由一元二次方程的根与系数的关系可得，． ∴， ． ∵得， ∴， ∴， ∴，，． 代入检验可知：以，均满足题意，不满足题意． 因此，实数的所有可能的值之和为． 故选B． 4．已知为关于的方程的三个实数根，则（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】方程即，它的一个实数根为1，另外两个实数根之和为2，其中必有一根小于1，另 ... ...