1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 课时1用空间向量研究距离问题 题型1用向量法求点到直线的距离 1.已知空间三点A(3,2,0),B(3,2,2),C(3,0,1),则C到直线AB 的距离为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.5 49536354927602.如图，在长方体 ABCD-A?B?C?D?中, AA1=AB=2,AD=1,点F,G分别是AB,CC?的中点，则点 D 到直线GF 的距离为 . 题型2函数思想在空间向量与立体几何中的应用 3.已知长方体ABCD-A?B?C?D?中, AB=AD=2AA1=2,圆E 内切上底面正方形A?B?C?D?，F为圆E上的动点. (1)求点 D 到直线AE 的距离; (2)求AF 的取值范围. 题型3用向量法求点或直线到平面的距离 4.已知正四棱柱ABCD-A?B?C?D?的底面边长为2,侧棱长为4,E为CD? 的中点,则点 A? 到平面 BDE 的距离为 ( ) A. 32 B.2 C. 94 D. 83 5.已知空间四个点A(1,1,1),B(-4,0,2),C(-3,-1,0),D(-1,0,4), 点 D 到 平 面 ABC 的 距 离是 . 57645304781556.如图，在棱长为1 的正方体 ABCD-A?B?C?D?中，直线AC到平面A?BC?的距离等于 . 7.如图所示，三棱台ABC-DEF的体积为7，其上、下底面均为正三角形,平面 ACFD⊥平面 ABC,AB=2DE=4 且AD=FC,棱AC与BC的中点分别为 G,H. (1)证明:AE∥平面 FGH. (2)求直线AE到平面 FGH 的距离. 题型4 用向量法求两个平行平面间的距离 8.若两平行平面α,β分别经过原点O 和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量为n=(-1，0，1)，则两平面间的距离是 51841404559309.正方体ABCD-A?B?C?D?的棱长为4,M、N,E,F 分别为A?D?,A?B?,C?D?,B?C? 的中点,则平面AMN与平面EFBD的距离为 . 10.已知直线l过点 P(1,3,1),且方向向量为m=(1,0,-1),则点A(1,-1,-1)到l的距离为( ) A.3 2 B.4 C.2 5 D.3 11.(多选)在长方体 ABCD-EFGH 中,AB=2,BC=BF=1,P是线段FG上一动点，则P到平面ACH 的距离不可能是 ( ) 4375150163195A.3 B.2 C. 32 D.62 12.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A?B?C?D?中,E,F 分别为 CD,A?B?的中点，则下列结论正确的是 ( ) ①点 F 到点 E 的距离为 2 ②点 F 到直线 ED? 的距离为 305;2641600-279400 ③点 F 到平面AED?的距离为 63 ④平面BFC? 到平面AED?的距离为 263. A.①②④ B.②③④ C.①④ D.①②③ 13.如图，在正方体ABCD-A?B?C?D?中,E 为棱B?C?的中点.动点 P 沿着棱 DC从点D 向点 C 移动，对于下列三个结论： ①存在点 P，使得 PA1=PE,且这样的点 P 有两个；58166000 ②△PA?E的面积越来越小； ③四面体 A?PB?E 的体积不变. 所有正确的结论的序号是 . 14.如图，在长方体ABCD-A?B?C?D?中,AD=AA?=1,AB=2,E为AB的中点. (1)求点 C?到直线A?E 的距离; (2)求点 E到平面ACD?的距离. 484695579248015.[2023·安徽滁州定远中学高二月考]如图，在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD 是矩形，侧面 PAD 是等腰直角三角形,平面 PAD⊥平面ABCD,AD=2,AB= AP=2,当棱 PC 上一动点 M 到直线 BD 的距离最小时，过A，D，M作截面交 PB 于点 N，则四棱锥 P-ADMN的体积是 ( ) A.4227 B.24 C.10227 D.7216406400012700 547370012700 课时2用空间向量研究夹角问题 题型1用向量法求异面直线所成的角 1如图，在长方体ABCD-A?B?C?D? 中, AB =2BC=2BB?,P为C?D?的中点,则异面直线 PB 与B?C所成角的大小是 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 360616567310 2.已知直三棱柱ABC-A?B?C?中,∠ABC=120°,AB= 2,BC=CC1=1,则异面直线AB?与BC?所成角的余弦值为 ( ) A.32 B.155 C.105 D.33 3.已知四棱锥S-ABCD 的底面 ABCD 是边长为2 的正方形,SD⊥平面ABCD,线段AB,SC的中点分别为E,F,若异面直线 EC 与 BF 所成角的余弦值为 5，则SD= ( ) A. 32 B.4 C.2 D.3 44888157131054.如图，某空间几何体由一个直三棱柱和一个长方体组成，若 AB=AA1=2AD=4,A1F= B1F=22,,P,Q,M,N分别是棱AB,C?E,BB?,A?F 的中点,则异面直线 PQ 与 MN所成角的余弦值是 . 5. ... ...