24.4解直角三角形 【题型1】解直角三角形 5 【题型2】解直角三角形的应用———高度深度宽度长度问题 6 【题型3】解直角三角形的应用———仰角俯角问题 8 【题型4】解直角三角形的应用———方向角问题 9 【题型5】解直角三角形的应用———坡度坡角问题 11 【知识点1】解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B=90°； ②三边之间的关系：a2+b2=c2； ③边角之间的关系： sinA==，cosA==，tanA==． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 1.（2024秋 宁阳县期中）如图，在4×4的正方形方格图形中，每个小正方形边长为2，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的正弦值是（ ） A．2B．C．D． 2.（2025 新抚区模拟）如图，在平面直角坐标系中，从原点O引一条射线，设这条射线与x轴的正半轴的夹角为α，若，则这条射线是（ ） A．OAB．OBC．OCD．OD 【知识点2】解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 1.（2024 九台区三模）如图，某汽车车门的底边长为0.95m,车门侧开后的最大角度为72°，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边上所有点中到车身的最大距离是（ ）m. A．0.95B．0.95sin72°C．0.95cos72°D．0.95tan72° 2.（2024秋 宁德期末）如图是一把圆规的平面示意图．使用时，以点A为支撑点，笔尖点B可绕点A旋转画出圆（弧）．已知OA=OB=m,夹角∠AOB=2α，则圆规画出的圆的半径AB长是（ ） A．2msinαB．2mtanαC．msin2αD．mtan2α 【知识点3】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 1.（2025春 良庆区校级月考）如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度AB为13米，坡度i=1：2.4，则大厅两层之间的距离BC为（ ） A．12B．10C．7D．5 【知识点4】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 1.（2024 罗湖区校级模拟）如图，为测量观光塔AB的高度，冬冬在坡度i=5：12的斜坡CD的D点测得塔顶A的仰角为52°，斜坡CD长为26米，C到塔底B的水平距离为9米．图中点A，B，C，D在同一平面内，则观光塔AB的高度约为（ ）米．（结果精确到0.1米，参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28） A．10.5米B．16.1米C．20.7米D．32.2米 2.（2 ... ...
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