第二章 函数 第1讲 函数的概念及其表示 课标要求 考情分析 1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用. 3.了解简单的分段函数，并能简单地应用. 命题形式 常以选择题或填空题的形式出现，难度较低. 常考内容 分段函数. 必备知识 自主排查 理一理 1．函数的有关概念 （1）函数的概念 （2） 函数的表示法：表示函数的常用方法有 ①_ _ _ _ _ _ 、图象法和列表法. （3） 同一个函数：如果两个函数的②_ _ _ _ _ _ 相同，并且③_ _ _ _ _ _ _ _ 完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数. 提醒 若两个函数的值域与对应关系相同，这两个函数不一定是同一个函数，如：与. 【答案】（2） 解析法 （3） 定义域；对应关系 2．分段函数 若函数在其定义域的④_ _ 子集上,因⑤_ _ _ _ _ _ _ _ 不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数. 提醒 分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集. 【答案】不同； 对应关系 常用结论 1.直线（是常数）与函数的图象至多有1个交点. 2.判断两个函数是同一个函数的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致. 练一练 1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 函数与是同一个函数.（ ） （2） 是一个函数.（ ） （3） 函数就是定义域到值域的对应关系.（ ） （4） 若,，，其对应是从到的函数.（ ） 【答案】（1） √ （2） × （3） × （4） × 2．（必修第一册P66例3改编）下列函数中，与函数是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 3．（多选）下列所给图象是函数图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】选.由函数的概念知，题图A，均不是函数图象，，是函数图象. 4．函数的定义域为 _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由 解得,所以 的定义域为. 5．已知函数则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为,所以. 核心考点 师生共研 考点一 函数的定义域 ［例1］ （1） [2025·酒泉期末]函数的定义域为（ ） A. ， B. C. ， D. ， （2） 已知函数的定义域为,则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】（1） C （2） C 【解析】 （1） 要使函数有意义，则 解得,所以函数 的定义域为 ，. （2） 因为函数 的定义域为，所以 解得 且.所以函数 的定义域为. ［感悟进阶］ （1）求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子（运算）有意义为准则，列出不等式（组）求解.对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 注意 定义域要用集合或区间表示，如果定义域是多个区间，要用符号“ ”连接. ［对点训练］ 1．函数的定义域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由 解得 且,所以函数 的定义域为. 2．[2025·惠州模拟]若函数的定义域为，则实数_ _ _ _ ，实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 【答案】2； 【解析】由函数， 得 即 因为函数 的定义域为，故,. 考点二 函数的解析式 ［例2］ （1） 已知,求的解析式； （2） 已知是二次函数，若方程有两个相等实根，且，求的解析式； （3） 已知函数对于任意的都有,求的解析式. 【答案】 （1） 【解】令,， 则, 所以,. 即,. （2） 设， 则, 所以, 则,, 所以. 又 有两个相等实根, 所以,则. 故. （3） 因为,① 所以,② 由 化简得,. ［感悟进阶］ 求函数解析式的四种方法 ［对点训练］ 1．若函数,则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】函数, 又 的值域为，所以. 2．已知一次函数满足，则_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设，则,所以 解 ... ...
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