第五章 平面向量、复数 第1讲 平面向量的概念及线性运算 课标要求 考情分析 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示. 2.掌握向量的加法、减法运算，理解其几何意义. 3.掌握向量的数乘运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. 4.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 命题形式 题型以选择题、填空题为主，难度属中、低档. 常考内容 平面向量的线性运算. 创新考法 与新情景结合命题,考查线性运算. 必备知识 自主排查 理一理 1．向量的有关概念 （1） 向量：既有大小又有①_ _ 的量叫做向量，向量的大小叫做向量的② . （2） 零向量：长度为③_ _ 的向量，其方向是任意的. （3） 单位向量：长度等于④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 的向量. （4） 平行向量：方向相同或⑤_ _ 的非零向量，又叫共线向量，规定：与任意向量平行. （5） 相等向量：长度相等且方向⑥_ _ 的向量. （6） 相反向量：长度相等且方向⑦_ _ 的向量. 提醒 单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量平行的单位向量有两个，即向量和. 【答案】（1） 方向；模 （2） 0 （3） 1个单位长度 （4） 相反 （5） 相同 （6） 相反 2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：⑧_ _ _ _ _ _ ; 结合律：⑨_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 减法 求两个向量差的运算 数乘 求实数 与向量的积的运算 ⑩_ _ _ _ _ _ _ _ ，当时,与的方向 _ _ ； 当时,与 的方向 _ _ ； 当时， _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ; _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ; _ _ _ _ _ _ _ _ 【答案】； ； ； 相同； 相反； ； ； ； 3．向量共线定理 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数 ，使 _ _ _ _ _ _ _ _ . 提醒 只有才能保证实数 的存在性和唯一性. 【答案】 常用结论 1.若为线段的中点,为平面内任一点,则 2.若为的重心，则有 （1）;（2）. 3.（ , 为实数），若点,,共线，则. 练一练 1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 与是否相等，与，的方向无关.（ ） （2） 若两个向量共线,则其方向必定相同或相反.（ ） （3） 若向量与向量是共线向量,则,,,四点在一条直线上.（ ） （4） 当两个非零向量,共线时,一定有,反之也成立.（ ） 【答案】（1） √ （2） × （3） × （4） √ 2．（必修第二册P14例6改编）在平行四边形中,的中点为,且,,用,表示_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】 . 3．（必修第二册P22T4改编）化简： （1） _ _ _ _ _ _ ； （2） _ _ _ _ . 【答案】（1） （2） 【解析】 （1） 原式. （2） 原式. 4．（用结论）设,,在一条直线上，在该直线外，已知,则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为,,三点共线，所以,解得. 5．若，，且，则四边形的形状是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】等腰梯形 【解析】因为，，故，且. 又，所以四边形 是等腰梯形. 核心考点 师生共研 考点一 平面向量的有关概念 ［例1］ （多选）下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若,,,是不共线的四点，则“”是“四边形为平行四边形”的充要条件 C. 若,,则 D. 的充要条件是且 【答案】BC 【解析】两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，是假命题;因为,所以 且,又,,,是不共线的四点，所以四边形 为平行四边形.反之，若四边形 为平行四边形，则,且,方向相同，因此,是真命题;因为,所以,的长度相等且方向相同，又,所以,的长度相等且方向相同，所以,的长度相等且方向相同，故,为真命题;当 且方向相反时，因为,所以,故 且 不是 的充要条件，是假命题. ［感悟进阶］ 平面向量有关概念的四个关注点 （1）相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性. （2）共线向量即为平行向量,它们均与起点和终点无关. ... ...
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