3.3 垂径定理题型归纳 2025-2026北师大版九年级数学（下）（学生版+答案版）

3.3垂径定理题型归纳 【题型1 利用垂径定理求线段长度】 【例1】如图，⊙O的半径OD⊥弦AB交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，EC＝2，则CD的长为（ ） A．1 B．3 C．2 D．4 【变式1-1】如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（ ） A．6 B． C．8 D． 【变式1-2】如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC＝30°，则CD的长为（ ） A．5 B．2 C．4 D． 【变式1-3】如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为 ． 【题型2 利用垂径定理求角度】 【例2】如图，⊙O的半径OA，OB，且OA⊥OB，连接AB．现在⊙O上找一点C，使OA2+AB2＝BC2，则∠OAC的度数为（ ） A．15°或75° B．20°或70° C．20° D．30° 【变式2-1】如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧上的一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（ ） A．60° B．90° C．120° D．135° 【变式2-2】如图，在⊙O中，半径OC过弦AB的中点E，OC＝2，OE． （1）求弦AB的长； （2）求∠CAB的度数． 【变式2-3】如图，在⊙O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC．点E为AC的中点，连接DE． （1）若AB＝6，求DE的长；（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度数． 【题型3 利用垂径定理求最值】 【例3】⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是（ ） A． B．1 C． D．2 【变式3-1】如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D．且OD＝DC．P为⊙O上任意一点，连接PA，PB，若⊙O的半径为1，则 S△PAB的最大值为（ ） A．1 B． C． D． 【变式3-2】如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝16，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为 ． 【变式3-3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（ ） A． B． C． D． 【题型4 利用垂径定理求取值范围】 【例4】如图，在⊙O中，直径AB＝10，CD⊥AB于点E，CD＝8．点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，P是直径AB上的动点，设m＝PC+PF，则m的取值范围是（ ） A．8＜m≤4 B．4m≤10 C．8＜m≤10 D．6＜m＜10 【变式4-1】如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围． 【变式4-2】如图，点P是⊙O内一定点． （1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若⊙O的半径为13，OP＝5， ①求过点P的弦的长度m范围； ②过点P的弦中，长度为整数的弦有 条． 【变式4-3】已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离OH＝3，点P是圆上一动点，设过点P且与AB平行的直线为l，记直线AB到直线l的距离为d． （1）求AB的长； （2）如果点P只有两个时，求d的取值范围； （3）如果点P有且只有三个时，求连接这三个点所得到的三角形的面积． 【题型5 利用垂径定理求整点】 【例5】已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（ ） A．1个 B．3个 C．6个 D．7个 【变式5-1】如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式5-2】如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN＝10，AB＝8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是 ，⊙C上的整数点有 个． 【变式5-3】已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题 ... ...