专题09 等腰三角形 ▉考点01等腰三角形的性质 文字语言 符号语言 图示 性质1 等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”) 如图，在△ABC中，∵AB=AC,∴∠B=∠C. 性质2 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”). 如图，在△ABC中，AB=AC,①∵BD=CD, ∴AD平分∠BAC且AD⊥BC.②∵AD平分∠BAC, ∴AD⊥BC且BD=CD.③∵AD⊥BC, ∴AD平分∠BAC且BD=CD. 轴对 称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线(或底边上的高或底边上的中线)所在的直线. ▉考点02等腰三角形的判定 1.判定方法 文字语言 符号语言 图示 利用定义 有两边相等的三角形是等腰三角形. 如图，在△ABC中， ∵AB=AC,∴△ABC为等腰三角形. 利用判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”). 如图，在△ABC中，∵∠B=∠C,∴△ABC为等腰三角形. 2.尺规作图：已知底边及底边上的高作等腰三角形 已知：等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h.(如图15.3.1-2(1)) 求作：这个等腰三角形. 分析：根据等腰三角形“三线合一” 的性质，当底边确定时，底边所对的 顶点在底边的垂直平分线上.由此， 作出底边的垂直平分线，利用高的长度确定底边所对的顶点的位置，即可作出这个等腰三角形. 作法：如图15.3.1-2(2). (1)作线段AB=a. (2)作线段AB的垂直平分线MN,与AB相交于点D. (3)在MN上取一点C,使DC=h. (4)连接AC,BC,则△ABC就是所求作的等腰三角形. ▉考点03等边三角形的性质 文字语言 符号语言 图示 性质1 等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°. 如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°. 性质2 等边三角形每条边上的中线、高及所对角 的平分线重合，即“三线合一”. 如图，在△ABC中， ①∵△ABC为等边三角形，AD平分∠BAC,∴AD⊥BC且BD=CD. ②∵△ABC为等边三角形，AD1BC,∴AD平分∠BAC且BD=CD.③∵△ABC为等边三角形，BD=CD,∴AD平分∠BAC且AD⊥BC. 轴对称性 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，对称轴为三边上的中线所在直线(或三个角的平分线所在直线或三边上的高线所在直线). ▉考点04等边三角形的判定 方法 文字语言 符号语言 图示 定义法 三边都相等的三角形是等边三角形. 如图，∵AB=AC=BC, ∴△ABC为等边三角形. 判定定 理法1 三个角都相等的三角形是等边三角形. 如图，∵∠A=∠B=∠C,∴△ABC为等边三角形. 判定定 理法2 有一个角是60°的等 腰三角形是等边三角形. 如图，∵AB=AC,∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°), ∴△ABC为等边三角形. ▉考点05含30°角的直角三角形的性质 文字语言 符号语言 图示 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∵∠A=30°,BC=1/2AB 一．等腰三角形的性质（共8小题） 1．（2024秋 平桥区期中）如果等腰三角形的一个内角等于40°，那么它的底角是（ ） A．100° B．70° C．70°或100° D．40°或70° 2．（2024秋 青秀区校级期中）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一” 3．（2025春 城关区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（ ） A．∠B＝∠C B．AD平分∠BAC C．AD⊥BC D．AB＝2BD 4．（2024秋 惠州校级期中）如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于（ ） A．60° B．75° C．70° D．90° 5．（2024秋 石家庄期中）题目：“在△ABC和△A'B'C'中，两个三角形的高线分别为AD和A'D'．∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'．AC＝A'C'，AD＝A'D'，且AB ... ...
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