专题06 角的平分线 ▉考点01 作已知角的平分线 已知 如图，已知∠AOB. 求作 求作∠AOB的平分线. 作法 如图：(1)以点0为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M,交OB于点N. (2)分别以点M,N为圆心，大于1/2MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. (3)作射线OC.射线OC即为所求. ▉考点02 角的平分线的性质 文字语言 符号语言 图示 角的平分线上的点到角两边的距离相等. 如图，∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥0A,PE⊥OB,垂足分别为D,E, ∴PD=PE. ▉考点03 证明几何命题的一般步骤 (1)明确命题中的已知和求证； (2)根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； (3)经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. ▉考点04 角的平分线的判定 1.角的平分线的判定定理： 文字语言 符号语言 图示 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 如图，∵点P为∠AOB内一点，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,且PD=PE,点P在∠AOB的平分线OC上. 2.角的平分线的性质定理与判定定理的关系： 点在角的平分线上（角的内部的）点到角的两边的距离相等 一．角平分线的性质（共30小题） 1．（2024秋 安定区期中）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（ ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【解答】解：过P点作PE⊥OB于E点，如图， ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB， ∴PE＝PC＝3， ∴S△POD6×3＝9． 故选：C． 2．（2025春 太谷区期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围城的一块三角形平地ABC上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该修在（ ） A．△ABC三边中线的交点 B．△ABC三个角的平分线的交点 C．△ABC三边高线的交点 D．△ABC三边垂直平分线的交点 【答案】B 【解答】解：设∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作OP⊥AB于P，OQ⊥BC于Q，OR⊥AC于R，如图所示： ∴OP＝OQ，OQ＝OR， ∴OP＝OQ＝OR， ∴点O在∠BAC的平分线上，点O就是度假村的位置， ∴度假村应修建在△ABC三个角的平分线的交点上． 故选：B． 3．（2024秋 惠城区校级期中）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（ ） ①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D， ∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC， ∴PM＝PN，PM＝PD， ∴PN＝PD， ∵PN⊥BF，PD⊥AC， ∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确； ②∵PM⊥AB，PN⊥BC， ∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°， ∴∠ABC+∠MPN＝180°， 在Rt△PAM和Rt△PAD中， ， ∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL）， ∴∠APM＝∠APD， 同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）， ∴∠CPD＝∠CPN， ∴∠MPN＝2∠APC， ∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确； ③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC， ∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM∠ABC+∠APB， ∴∠ACB＝2∠APB，③正确； ④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL） ∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN， ∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确， 故选：D． 4．（2025春 郏县期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（ ） A．10 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【解答】解：过D作DF⊥AB于F， ∵∠C＝90°， ∴DC⊥BC， ∵BD平分∠ABC，CD＝3， ∴DF＝CD＝3， ∵点E为AB的中点，AB＝12， ∴BE＝6， ∴△DBE的面积BE DF6×3＝9， 故选：C． 5．（2024秋 梁溪区校级期中）如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于 ... ...
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