株洲市南方中学2026届高三11月阶段性检测 数学答案 1-8. B B D B A D C 9.ACD 10.ACD 11.ACD． 12. 72 13． 14． 8.【详解】由题意得的定义域为．设， 求导分析得当且仅当时取等号， 又当时，，当时，， 所以在上有两个零点，设为 ， 则当时，，当时，． 设，由，得当，时，， 当时，，则为方程的两个实数根，所以 ．又，所以， 所以，即 ，则，所以．易知，故，设，则， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，故的最小值为e． 11.【详解】对于A，，，，为递减数列，A正确； 对于B，，， ，故，即，当时等号成立， ，当或时等号成立，B错误； 对于C，，，C正确； 对于D，由得，， 故，由，得，当时等号成立， ，故，当或时等号成立， ，D正确. 14.【分析】根据垂径定理及直角三角形斜边中线的性质得，设，可得点N在圆上，数形结合可知当直线MN与圆相切时，取得最大值，此时，． 15.（1）当时，可得，当时，，. 作差可得，因为是正项数列，所以，即数列为等差数列，所以. --6分 （2）因为，所以--9分 又，所以--11分 又也满足上式，所以，--13分 16.【详解】（1）略................4分 （2）过点作的垂线，垂足为， 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面PMC，又平面，所以． 因为平面，平面，所以． 因为，平面，平面， 所以平面．又平面，所以．................9分 （3）设，过点作，以点为坐标原点，为坐标轴建立空间直角坐标系， 因为，为的中点，所以， 设，，所以， ， 设平面的法向量， 取； 同理设平面的法向量， 取； 设平面与平面的夹角为， 所以，， .................15分 17.【答案】(1) (2) 【详解】（1），， ∵，，， 又∵为锐角三角形，， --6分 ，，，， ，，--9分 令，， 为锐角三角形，所以，，--11分 令，由双勾函数的性质知，函数在上单调递减，在上单调递增，所以， ，即，--13分 ∴，则， ,即的取值范围为. --15分（学生可能由其他方法求出了最小值，给11分）。 18.（1），焦点坐标为....................2分 （2）或....................7分 （3）①设过点的直线为： ，设、，，， ，则过点与抛物线相切的切线分别为： 、 消去代入韦达定理得。（要想清楚为什么要消去而不是）故在定直线上。........................12分 ②，将代入得， 则到直线的距离为： 故，当时，面积的最小值为8。..............17分 19.【详解】（1）函数在上单调递减，在单调递增.....................3分 （2）（i）函数的定义域为，， ①当时，，函数在单调递减，至多有一个零点，不符合题意； ②当时，令，解得， 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增. ∴当时，取得最小值，最小值为. 因为函数有两个零点，且时，，时，，所以. 设，易知函数在单调递增.因为，所以的解集为. 综上所述，实数的取值范围是.....................9分 （ii）因为，由，结合（i）知， 要证，即证，即， 当时，因为，，不等式恒成立； 当时，由得. 即证. 即证. 即证. 设，，由， 所以在单调递增.所以，故原不等式成立. 所以.....................17分株洲市南方中学2026届高三11月阶段性检测 数 学 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则（ ） A． B． C．2 D．3 2．若集合，，且，则（ ） A． B． C． D．或0 3．若，，，则在上的投影向量的模为（ ） A． B． C． D． 4．函数是定义在上的增函数，则满足＜的取值范围是（ ） A． B．［ ，） C．（，） D．［，） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若 ，则 6．从编号1~7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“ ... ...
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