1.5 三角函数的应用 课件(共35张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件

(课件网) 第 1 页：封面页 标题：1.5 三角函数的应用 副标题：北师大版九年级数学下册 配图：包含仰角、俯角、坡角的生活场景示意图（如高楼测量、山坡修路） 落款：授课教师 / 日期 第 2 页：学习目标 知识目标：理解仰角、俯角、坡角、坡度的概念，掌握三角函数在实际测量、工程问题中的应用方法。 能力目标：能将实际问题转化为直角三角形模型，运用三角函数求解未知量，提升数学建模与运算能力。 素养目标：感受数学与生活的紧密联系，培养应用数学解决实际问题的意识，渗透转化与数形结合思想。 第 3 页：概念辨析 关键术语 核心概念（结合图示讲解）： 仰角：从低处观测高处目标时，视线与水平线所成的锐角（如测量树顶、山顶）。 俯角：从高处观测低处目标时，视线与水平线所成的锐角（如从楼顶看地面标志物）。 坡角：斜坡与水平面的夹角（用 α 表示）。 坡度（坡比）：斜坡的垂直高度与水平宽度的比（i=h/l=tanα，通常写成 1:m 的形式）。 易错提醒：仰角与俯角均为视线与水平线的夹角，而非与铅垂线的夹角。 第 4 页：情境导入 问题初探 生活问题：小明站在距离大楼底部 20m 的平地上，用测角仪测得大楼顶部的仰角为 60°，已知测角仪高度为 1.5m，求大楼的高度（结果保留根号）。 思考引导： 如何将该问题转化为直角三角形问题？ 已知条件（20m、60°、1.5m）分别对应直角三角形的哪些元素？ 过渡：带着这些问题，我们学习三角函数在实际中的具体应用。 第 5 页：类型一 仰角与俯角问题（测高度 / 距离） 例题：如图，为测量某山的高度 AB，在山底 C 处测得山顶 A 的仰角为 45°，沿坡度 i=1:√3 的斜坡 CD 向上走 100m 到达 D 处，在 D 处测得山顶 A 的仰角为 30°，求山高 AB（结果保留根号）。 解题步骤： 构建模型：过 D 作 DE⊥AB 于 E，DF⊥BC 于 F，形成 Rt△CDF、Rt△ADE、Rt△ABC。 求 DF 与 CF：由坡度 i=1:√3 得∠DCF=30°，DF=100×sin30°=50m，CF=100×cos30°=50√3 m。 设未知数列方程：设 AE=x，在 Rt△ADE 中，DE=AE/tan30°=√3 x；在 Rt△ABC 中，AB=BC，即 x+50=√3 x + 50√3，解得 x=50，故 AB=50+50=100m。 方法小结：遇仰角俯角问题，常作 “水平辅助线” 构建直角三角形，利用公共边或相等线段建立方程。 第 6 页：类型二 坡角与坡度问题（工程设计） 例题：某水利工程需要修建斜坡渠道，斜坡的坡度 i=1:2.4，渠道水平宽度为 12m，求斜坡的长度及坡角（精确到 0.1m、1°）。 解题步骤： 求垂直高度：由坡度 i=h/l=1/2.4，得 h=12×(1/2.4)=5m。 求斜坡长度：斜坡长度为√(12 +5 )=13.0m。 求坡角：tanα=5/12≈0.4167，α≈22.6°。 方法小结：坡度是垂直高度与水平宽度的比，对应直角三角形的对边与邻边，可结合勾股定理与三角函数求解。 第 7 页：类型三 方位角问题（确定位置） 例题：如图，一艘轮船从 A 港出发，沿北偏东 30° 方向航行至 B 港，再沿南偏东 60° 方向航行至 C 港，若 A 港到 B 港的距离为 20nmile，B 港到 C 港的距离为 10√3 nmile，求 A 港到 C 港的距离（结果保留根号）。 解题步骤： 分析方位角：由题意得∠ABC=30°+60°=90°，△ABC 为直角三角形。 求 AC 长度：AC=√(AB +BC )=√(20 +(10√3) )=√(400+300)=√700=10√7 nmile。 方法小结：方位角问题需先根据方向描述确定三角形内角，判断是否为直角三角形，再选择合适方法求解。 第 8 页：解题流程 通用模板 审题意：明确已知条件（角度、长度）与所求问题，标注关键术语（仰角、坡度等）。 画图形：根据题意画出示意图，构建直角三角形（若非直角三角形，通过作辅助线转化）。 标元素：在图中标注已知边、角及未知量，明确直角三角形的边角 ... ...