3.3 垂径定理 课件(共36张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件

(课件网) 第 1 页：封面页 标题：3.3 垂径定理 副标题：北师大版九年级数学下册 | 定理深化 多场景应用 配图：左侧为 “垂径定理核心图形”（直径垂直弦，标注平分弦与弧），右侧为两个应用场景缩略图（两弦相交问题、桥拱计算问题） 落款：授课教师 / 日期 第 2 页：学习目标 知识目标：熟练掌握垂径定理的内容及 “知二推三” 推论体系，明确定理与逆定理的区别，能结合圆周角、勾股定理综合应用定理。 能力目标：能独立解决 “多弦相交”“圆弧形实际问题” 等复杂场景，通过辅助线构造直角三角形，提升几何推理与计算能力。 素养目标：体会 “定理 — 推论 — 应用” 的逻辑链，培养严谨的数学思维，感受几何定理在解决实际问题中的价值。 第 3 页：定理回顾 核心内容梳理 1. 垂径定理（核心） 文字表述：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 符号语言（如图，⊙O 中，CD 为直径，AB 为弦，CD⊥AB 于 E）： ∵ CD 是直径，CD⊥AB，∴ AE=BE，⌒AC=⌒BC，⌒AD=⌒BD。 关键要素：① 过圆心（直径）；② 垂直于弦；③ 平分弦；④ 平分劣弧；⑤ 平分优弧（“五要素”）。 2. 推论（知二推三） 核心规则：若一条直线满足 “五要素” 中的任意两个，则必满足其余三个（需注意：若涉及 “平分弦”，弦不能是直径）。 常见组合示例： 过圆心 + 平分弦（非直径）→ 垂直于弦 + 平分两条弧； 垂直于弦 + 平分劣弧 → 过圆心 + 平分弦 + 平分优弧。 3. 定理本质 垂径定理是圆轴对称性的直接体现，所有推论均围绕 “轴对称” 推导，即：对称轴（过圆心的直线）垂直平分对称点的连线（弦），且平分对应弧。 第 4 页：逆定理辨析 避免概念混淆 1. 常见易混命题（判断正误） 命题 正误 理由 垂直于弦的直线平分弦 × 未强调 “过圆心”，如任意一条垂直于弦但不过圆心的直线，无法平分弦 平分弦的直线垂直于弦 × 未强调 “过圆心” 和 “弦非直径”，如平分弦但不过圆心的直线，不垂直于弦 平分弧的直径垂直于弧所对的弦 √ 满足 “过圆心”“平分弧”，符合 “知二推三”，故垂直于弦 2. 逆定理应用技巧 若题目条件为 “某直线平分弦且垂直于弦”，需先判断弦是否为直径： 若弦是直径：直线不一定过圆心（如两条相交的直径，互相垂直平分，但任意一条直径的垂线不一定过圆心）； 若弦非直径：直线必过圆心（符合 “知二推三”，过圆心是必然结论）。 第 5 页：典例精讲 基础场景应用（单弦问题） 例题 1：求圆心角 如图，⊙O 的半径 OA=5，弦 AB=8，OD⊥AB 于 D，求∠AOD 的度数。 解答步骤： 由垂径定理得 AD=AB/2=4（OD 垂直平分 AB）； 在 Rt△AOD 中，OA=5，AD=4，由勾股定理得 OD=3； ∵ AD=4，OA=5，∴ cos∠AOD=OD/OA=3/5？ 不对，应为 cos∠AOD=OD/OA=3/5？ 修正：在 Rt△AOD 中，AD=4，OA=5，OD=3，∴ sin∠OAD=OD/OA=3/5，∠AOD=arcsin (4/5)≈53.13°（或用勾股数 3-4-5，∠AOD≈53°）。 思路提炼：通过垂径定理将弦长转化为半弦长，结合半径构造直角三角形，利用三角函数求角度。 例题 2：证明线段相等 如图，⊙O 中，AB、CD 为弦，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，且 OE=OF，求证：AB=CD。 解答步骤： 连接 OA、OC（半径），∵ OE⊥AB，OF⊥CD，∴ AE=AB/2，CF=CD/2（垂径定理）； 在 Rt△AOE 和 Rt△COF 中，OA=OC（同圆半径），OE=OF（已知），∴ Rt△AOE≌Rt△COF（HL）； ∴ AE=CF，故 AB=2AE=2CF=CD。 思路提炼：利用 “圆心到弦的距离相等，则弦长相等”（垂径定理推论的延伸），通过全等三角形证明半弦长相等。 第 6 页：典例精讲 复杂场景应用（多弦相交） 例题 3：两弦相交与垂径定理结合 如图，⊙O 中，弦 AB 与 CD 相交于点 P，且 AB⊥CD，AB ... ...