3.4.1 圆周角和圆心角的关系 课件(共36张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件

(课件网) 第 1 页：封面页 标题：3.4.1 圆周角和圆心角的关系 副标题：北师大版九年级数学下册 配图：左侧为同弧所对的圆心角与圆周角示意图（标注∠AOB 为圆心角，∠ACB 为圆周角，弧 AB 为公共弧），右侧为生活中的圆周角场景（如自行车轮辐条形成的角） 落款：授课教师 / 日期 第 2 页：学习目标 知识目标：理解圆周角与圆心角的定义，掌握圆周角定理（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）及推论，明确两类角的区别与联系。 能力目标：能在圆的图形中识别圆周角与圆心角，通过定理证明培养逻辑推理能力，运用定理解决 “角度计算”“弧相等判定” 等问题，提升几何分析能力。 素养目标：体会 “从特殊到一般” 的定理推导思想，感受几何图形中角与弧的对应关系，培养严谨的数学思维与数形结合意识。 第 3 页：情境导入 认识圆周角与圆心角 复习旧知： 圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角（如⊙O 中，∠AOB 的顶点 O 在圆心，OA、OB 为半径，∠AOB 为圆心角，它所对的弧为⌒AB）。 圆心角性质：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 生活观察（配图）： 站在圆形广场边缘 A、B 两点，观察中心雕塑 O，形成的∠AOB 是圆心角； 站在广场边缘 C 点，观察 A、B 两点，形成的∠ACB，顶点 C 在圆上，两边 CA、CB 与圆相交，这类角是什么角？ 引出概念：像∠ACB 这样，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角。 第 4 页：核心概念 圆周角与圆心角的定义 1. 定义对比（结合图示） 角的类型 顶点位置 两边特征 示例（⊙O 中） 圆心角 圆心 两边均为半径（与圆相交） ∠AOB（顶点 O 在圆心，OA、OB 为半径） 圆周角 圆上 两边均与圆相交（不一定是半径） ∠ACB（顶点 C 在圆上，CA、CB 与圆交于 A、B） 2. 概念辨析（判断下列角是否为圆周角） 图 1：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边在圆内→不是（两边需均与圆相交）； 图 2：顶点在圆内，两边与圆相交→不是（顶点需在圆上）； 图 3：顶点在圆上，两边均与圆相交→是（符合圆周角定义）； 图 4：顶点在圆上，一边为半径，另一边与圆相交→是（两边均与圆相交，满足定义）。 3. 关键提醒 圆周角的 “顶点在圆上” 和 “两边与圆相交” 两个条件缺一不可； 圆心角是圆周角的特殊情况吗？不是，两者顶点位置不同，圆心角顶点在圆心，圆周角在圆上。 第 5 页：探究活动 圆周角与圆心角的数量关系 1. 猜想提出（特殊情况） 情境 1：圆周角的一边经过圆心（如图，⊙O 中，∠ACB 为圆周角，OC 为半径，CB 为弦，∠AOB 为圆心角，均对⌒AB）。 分析：OA=OC（半径），故△AOC 为等腰三角形，∠OAC=∠OCA； ∠AOB 是△AOC 的外角，故∠AOB=∠OAC+∠OCA=2∠OCA，即∠ACB=1/2∠AOB。 猜想：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 2. 定理证明（分三种情况） 情况 1：圆心在圆周角的一边上（如上情境 1），已证∠ACB=1/2∠AOB； 情况 2：圆心在圆周角的内部（如图，⊙O 中，∠ACB 为圆周角，圆心 O 在∠ACB 内部，连接 CO 并延长交⊙O 于 D）： 由情况 1 得：∠ACD=1/2∠AOD，∠BCD=1/2∠BOD； 故∠ACB=∠ACD+∠BCD=1/2 (∠AOD+∠BOD)=1/2∠AOB； 情况 3：圆心在圆周角的外部（如图，⊙O 中，∠ACB 为圆周角，圆心 O 在∠ACB 外部，连接 CO 并延长交⊙O 于 D）： 由情况 1 得：∠ACD=1/2∠AOD，∠BCD=1/2∠BOD； 故∠ACB=∠ACD-∠BCD=1/2 (∠AOD-∠BOD)=1/2∠AOB； 3. 圆周角定理 同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 符号语言：在⊙O 中，若∠ACB 是圆周角，∠AOB 是圆心角，且两者都对⌒AB，则∠ACB=1/2∠AOB。 延伸：同弧或等弧所对的圆周角相等（因它们都等于同圆心角的一半） ... ...