28.1.1正弦函数 课件(共40张PPT)-2025-2026学年人教版数学九年级下册教学课件

(课件网) 第 1 页：封面 标题：28.1.1 正弦函数 副标题：人教版九年级数学下册 配图：含 30°、45°、60° 的直角三角形示意图（标注直角、锐角及对应边，如 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，AB=2） 落款：授课教师 / 日期 第 2 页：学习目标 知识与技能： 理解直角三角形中锐角的正弦函数定义（\(\sin A=\frac{ è }{ è }\)），明确 “对边”“斜边” 的对应关系 掌握 0°、30°、45°、60°、90° 等特殊角的正弦值，能准确记忆并直接运用 会根据正弦函数定义计算直角三角形中未知的边或角，解决简单的实际问题 过程与方法： 通过观察、测量、计算等活动，经历正弦函数概念的形成过程，提升数形结合能力 借助特殊直角三角形（如含 30°、45° 的三角形）推导特殊角正弦值，培养逻辑推理能力 情感态度： 感受三角函数在解决几何问题和实际问题中的工具性价值，增强学习兴趣 在探究特殊角正弦值的过程中，体会数学的规律性与严谨性 第 3 页：情境引入 ——— 直角三角形的边角关系 实例展示（配图呈现）： 实例 1：小明要测量一棵大树的高度，他站在离树底 10 米处，测得视线与水平线的夹角为 30°，已知小明身高 1.6 米，如何计算树高？ 实例 2：斜拉桥的钢索与桥塔成 60° 角，钢索长度为 20 米，如何求桥塔的高度？ 思考提问： 问题 1：这些实例都涉及直角三角形，已知一个锐角和一条边，如何求另一条边？ 问题 2：在直角三角形中，一个锐角确定后，它的对边与斜边的比值是否固定？ 引入课题：今天我们将学习直角三角形中锐角的正弦函数，用它来解决这类边角计算问题。 第 4 页：正弦函数的定义 定义推导： 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A 是一个锐角： 定义：∠A 的对边（BC）与斜边（AB）的比叫做∠A 的正弦，记作\(\sin A\) 数学表达式：\(\sin A = \frac{ A è }{ è } = \frac{BC}{AB}\) 关键强调： “对边” 是相对于指定锐角而言（如∠B 的对边是 AC，而非 BC） 斜边是直角三角形中最长的边，始终与直角相对（即 AB 边） 概念辨析（互动环节）： 在 Rt△DEF 中，∠F=90°，∠D=45°，DE=5，DF=3，EF=4，求\(\sin D\)和\(\sin E\) 解析：\(\sin D = \frac{EF}{DE} = \frac{4}{5}\)，\(\sin E = \frac{DF}{DE} = \frac{3}{5}\) 取值范围： 因直角三角形中，对边长度 < 斜边长度，且边长为正数，故 0 < \(\sin A\) < 1（A 为锐角） 特殊情况：∠A=0° 时，\(\sin 0 °=0\)；∠A=90° 时，\(\sin 90 °=1\) 第 5 页：特殊角的正弦值 推导特殊角正弦值： （1）30° 角的正弦值： 如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，设 BC=1，则 AB=2（30° 角所对直角边是斜边的一半） \(\sin 30 ° = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{2}\) （2）45° 角的正弦值： 如图，Rt△DEF 中，∠F=90°，∠D=45°，设 DF=EF=1，则 DE=\(\sqrt{2}\)（勾股定理） \(\sin 45 ° = \frac{EF}{DE} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)（分母有理化） （3）60° 角的正弦值： 沿用 30° 角的 Rt△ABC，∠B=60°，对边是 AC，设 BC=1，AB=2，则 AC=\(\sqrt{3}\) \(\sin 60 ° = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) 特殊角正弦值总结表： 锐角 α 0° 30° 45° 60° 90° \(\sin ±\) 0 \(\frac{1}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) 1 记忆技巧：结合特殊三角形的边长关系（如 1:2:\(\sqrt{3}\)、1:1:\(\sqrt{2}\)）辅助记忆 第 6 页：正弦函数的基础应用（求边长） 例 1：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，求 BC 的长。 解析： 由正弦定义，\(\sin A = \frac{BC}{AB}\) 代入已知：\(\sin 30 ° = \frac{BC}{8}\) 因\(\sin 30 ° = ... ...