5.5 第一课时 三角恒等变换 【题型1】两角差的余弦公式 2 【题型2】给值求值 4 【题型3】给值求角 6 【题型4】两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式 10 【题型5】两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式给值求值 11 【题型6】两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式给值求角 14 一、两角差的余弦公式 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β，其中α，β为任意角，简记作C(α-β). 二、两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式 1.两角和的余弦公式 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β，其中α，β∈R，简记作C(α+β). 2.两角和与差的正弦公式 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，其中α，β∈R，简记作S(α+β)； sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，其中α，β∈R，简记作S(α-β). (1)该公式对任意角都能成立. (2)公式的结构，左端为两角差的余弦，右端为这两角同名三角函数值积的和. (3)公式的逆用仍然成立. (4)注意公式的展开形式，两角和与差的余弦展开可简记为“余余正正，符号相反”，两角和与差的正弦展开可简记为“正余余正，符号相同”. (5)公式的逆用，一定要注意名称的顺序和角的顺序. 【题型1】两角差的余弦公式 （2024秋 福建期末）cos105°cos45°+sin105°sin45°＝（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角差的余弦公式及特殊角的三角函数值即可求解． 【解答】解：． 故选：A． 方法点拨 两角差的余弦公式常见题型及解法 (1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解. (2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解. (3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解. 【变式1】（2024秋 湘潭期末）cos87°cos57°+sin87°sin57°的值为 ． 【答案】． 【分析】逆用两角差的余弦公式化简求值． 【解答】解：原式＝cos（87°﹣57°）＝cos30°． 故答案为：． 【变式2】（2024春 色尼区期末）计算cos43°cos13°+sin43°sin13°的值（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用两角差的余弦求解． 【解答】解：cos43°cos13°+sin43°sin13° ＝cos（43°﹣13°）＝cos30°． 故选：A． 【变式3】（2025春 石狮市月考）cos（﹣15°）的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意利用诱导公式、两角差的余弦公式，求得cos（﹣15°）的值． 【解答】解：cos（﹣15°）＝cos15°＝cos（45°﹣30°）＝cos45°cos30°+sin45°sin30° ， 故选：D． 【题型2】给值求值 （2023秋 湖北月考）已知，，则cosθ＝（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，结合两角和的余弦公式求值． 【解答】解：因为，所以， 又，所以为锐角，且． ∴． 故选：C． 方法点拨 给值求值的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系. (2)在运用两角差的余弦公式进行解题时，可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.常见角的变换有①α=(α+β)-β；②α=-；③2α=(α+β)-(β-α)；④2β=(α+β)-(α-β). 【变式1】（2024秋 长沙期末）已知，且α∈（，π），则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角α的范围及同角三角函数的基本关系求出cos（α），再利用诱导公式求解即可． 【解答】解：因为α∈（，π），所以α∈（，）， 因为，所以cos（α）， 所以cos[π﹣（α）]＝﹣cos（α）． 故选：C． 【变式2】（2024春 海安市期末）已知，若，则cosα＝（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得的范围，可知，再由同角三角函数的基本关系和两角和的余弦公式求解即可得出答案． ... ...
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