5.5 第三课时 三角恒等变换 【题型1】半角公式 2 【题型2】三角函数式的化简、证明 4 【题型3】辅助角公式及其应用 6 【题型4】三角恒等变换在几何中的应用 7 【题型5】三角恒等变换在实际问题中的应用 8 一、半角公式 半角公式中的±号不能去掉，若没有给出决定符号条件，则在根号前保留±两个符号；若给出α的具体范围时，则先求所在的范围，然后根据所在的范围选用符号. 二、和差化积、积化和差 1.积化和差 sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)]； cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)]； cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]； sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]. 2.和差化积 sin θ+sin φ=2sin ； sin θ-sin φ=2cos ； cos θ+cos φ=2cos ； cos θ-cos φ=-2sin . 三、辅助角公式及其应用 y=asin x+bcos x=sin(x+φ). (1)该函数的最大值为，最小值为-. (2)有时y=asin x+bcos x=cos(x-φ). 【题型1】半角公式 （2024秋 吉林期末）已知且，求的值． 【答案】，，． 【分析】根据给定条件，由同角公式及二倍角的余弦公式计算得解． 【解答】解：由得cosθ＜0， 因为，所以， 又，则，而， 所以cos，sin， 所以． 方法点拨 利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，常常借助半角公式求解. (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围. (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ==，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2=，cos2=计算. 【变式1】（2024 吴兴区模拟）设5π＜θ＜6π，cosa，则sin等于（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2024 海淀区开学）已知cosα，α∈（，2π），则sin等于（ ） A． B． C． D． 【变式3】（2025春 环县期中）已知，，则（ ） A． B． C． D． 【题型2】三角函数式的化简、证明 （2025秋 长汀县月考）（1）求证：； （2）求值：． 【答案】（1）左端， 右端， 故成立； （2）2． 【分析】（1）利用二倍角公式及商关系化简、证明即可； （2）利用两角和与差的三角函数公式化简求值即可． 【解答】解：（1）证明：左端， 右端， 故等式成立； （2）由 ＝tan15° ＝tan（60°﹣45°） ． 方法点拨 三角恒等式证明的常用方法 (1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简. (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子. (3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同. (4)比较法：设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”. (5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立. 【变式1】（2025春 内蒙古月考）求证： （1）． （2）． 【变式2】（2025春 如皋市月考）化简与证明： （1）． （2）cos（α+β）cos（α﹣β）＝cos2β﹣sin2α． 【变式3】（2024春 乌兰浩特市期中）（1）化简：； （2）求证：． 【题型3】辅助角公式及其应用 （2025 泉州模拟）（ ） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4 【答案】D 【分析】直接利用三角函数的关系式的变换求出三角函数的值． 【解答】解：． 故选：D． 方法点拨 研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质.在这个过程中通常利用辅助角公式，将y=asin x+bcos x转化为y=sin(x+φ)或y=cos(x-φ)的形式，以便研究函数的性质. 【变式1】（2025春 南京期中）已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2025 宿迁模拟）已知，则（ ） A． B． C． D． 【 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
