4.3 等比数列 题型01 等比数列的通项 5 题型02 等比中项 7 题型03 等比数列的判断 9 题型04 等比数列的性质 11 题型05 等比数列的前n项和 13 题型06 等比数列前n项和的性质 15 知识点1： 等比数列的概念 1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列公比，通常用字母q表示(q≠0)． 2．递推公式形式的定义：＝q(n∈N*且n>1)． 知识点2： 等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab． 知识点3： 等比数列的通项 1．若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N*)． 2．若等比数列{an}的公比为q，则an＝a1qn－1＝amqn－m＝·qn． 知识点4： 等比数列的性质 1．若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an． 2．若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列． 3．在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列． 4．若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和． 知识点5： 等比数列的前n项和公式 1．Sn＝． 2．Sn＝ 知识点6： 等比数列前n项和的性质 1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列． 2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)． 3．在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列． 1．等比数列的求解． (1)等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个． (2)在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解． 2．等比中项． (1)由等比中项的定义可知＝ G2＝ab G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项． (2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项． (3)a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0)． 3．等比数列的性质． (1)充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题． (2)简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量． 4．等比数列的判断． (1)定义法：若数列{an}满足＝q(n∈N*，q为常数且不为零)或＝q(n≥2，且n∈N*，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． (2)通项公式法：若{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列． (3)等比中项法：若a＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列． (4)构造法：在条件中出现an＋1＝kan＋b关系时，往往构造数列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)与an＋1＝kan＋b对照，求出x即可． 5．等比数列前n项和运算的技巧． (1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． (2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可看作一个整体． (3)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． 6．等比数列前n项和问题的求解． (1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． (2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质． 7．错位相减法求和． (1)适用范围：它主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和． (2)利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式 ... ...
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