椭 圆 课前必备知识 课标要求 1.了解椭圆的实际背景和实际应用，理解椭圆的定义与几何图形，会求椭圆标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质并能应用，体会数形结合思想． 知识梳理 1．椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的__距离的和等于常数(大于|F1F2|)__的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的__焦点__，两焦点间的距离叫做椭圆的__焦距__． 2．椭圆的标准方程与简单几何性质 标准 方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0) 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 对称性 关于x轴、y轴、原点对称 长短轴 长轴长|A1A2|＝__2a__，短轴长|B1B2|＝__2b__ 焦距 |F1F2|＝2c(c>0)，c2＝__a2－b2__ 离心率 e＝____(00，B>0，A≠B). 2．P是椭圆上一点，F是椭圆的焦点，则|PF|∈[a－c，a＋c]，即椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c，最小值为a－c. 3．椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为，通径是最短的焦点弦． 4．离心率e＝. 5．P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1，F2为椭圆的两个焦点，则△PF1F2的周长为2(a＋c). 6．P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1，F2为椭圆的两个焦点，则S△PF1F2＝b2tan ，其中θ为∠F1PF2. 课前训练 1．若椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( ) A． B． C． D． 2．(教材母题选必修3.1.1练习T1改编)椭圆＋＝1上点P到上焦点的距离为4，则点P到下焦点的距离为( ) A．6 B．3 C．4 D．2 3．设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为( ) A． B． C． D．2 4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点A(2，1)，则椭圆C的方程为_____． 5．已知矩形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1(a＞b＞0)上，边AD和BC分别经过椭圆的左、右焦点，且3|AB|＝2|BC|，则该椭圆的离心率为_____． 课堂核心考点 考点1 椭圆的定义、标准方程 【例1】 (1)已知B(－，0)是圆A：(x－)2＋y2＝16内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为_____． (2)(2025·陕西西安模拟预测)P为椭圆＋＝1上一点，曲线＋|y|＝1与坐标轴的交点为A，B，C，D，若|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|＝4，则点P到x轴的距离为( ) A． B． C． D． (1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化．涉及椭圆上的点与两焦点的距离时，要注意联想椭圆的定义，要结合图形看能否运用定义进行求解，点在椭圆上，则点P一定满足椭圆的定义． (2)求椭圆的标准方程的基本方法是待定系数法，要注意“定型”和“定量”两方面的要求． (3)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解． (4)注意掌握与焦点三角形有关的一些常用结论，如： ①椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为，通径是最短的焦点弦． ②P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点，则 △PF1F2的周长为2(a＋c). ③P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点，则△PF1F2的面积S△PF1F2＝b2tan ，其中θ＝∠F1PF2. 变式探究 1．“1b> ... ...
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